Loading AI tools
typ równania cząstkowego liniowego rzędu dwa Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Równanie różniczkowe Laplace’a – równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci[1]:
gdzie funkcja jest klasy Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:
Alternatywne zapisy równania to:
czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:
Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.
Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.
Równanie Laplace’a występuje m.in.[2]:
Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.
Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni spełniającym na brzegu dla warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli spełniającym na (hiper-)sferze warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.