Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa

Kula

wnętrze sfery, zbiór punktów o odległości od środka nieprzekraczającej promienia Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Remove ads

Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.

Szybkie fakty

Definicja formalna

Podsumowanie
Perspektywa

Kula w danej przestrzeni metrycznej zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

dla pewnych które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach[2][3][4] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:

Remove ads

Informacja ogólna

Podsumowanie
Perspektywa
Thumb
Kula w przestrzeni euklidesowej
Thumb
Kula o środku i promieniu w metryce Manhattan na zbiorze

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:

gdzie są współrzędnymi środka kuli, a oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych:

dla

W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie i promieniu to zbiór punktów których współrzędne spełniają nierówność:

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest

Remove ads

Związane pojęcia

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej

  • Objętość -wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu dana jest wzorem
  • „Pole” -wymiarowe jej (hiper)powierzchni
  • Objętość 3-wymiarowej kuli: [5]
  • Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli: [5]

W powyższych wzorach jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie -wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego . Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze[6][7].

Uwaga: Brzegiem -wymiarowej kuli jest -wymiarowa sfera.

Remove ads

Uogólnienie topologiczne

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads