Przestrzeń topologiczną
nazywamy rozmaitością
-wymiarową, jeśli dla każdego punktu
istnieje otwarte i spójne otoczenie
oraz homeomorfizm
tego otoczenia
na otwarty zbiór
przestrzeni wektorowej n-wymiarowej
nad ciałem
liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości
Rodzina
map nazywa się atlasem rozmaitości
gdy dziedziny
homeomorfizmów
pokrywają rozmaitość ![{\displaystyle \mathbb {X} ^{n}{:}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39de99e7084ad27f4a22f686b1462d7309a8988f)
| | ![{\displaystyle \mathbb {X} ^{n}=\bigcup _{l\in I}U_{l}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18be01d7db38ff3d18ac01557258c7e45cc6a82d) |
|
(1) |
Zbiór wszystkich map rozmaitości
nazywamy atlasem zupełnym
rozmaitości
Zawsze będziemy zakładali, że dla
również
tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu
natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.
Dopuszczenie przypadku
jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.
Niech
będzie bazą
którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor
można utożsamić z uporządkowanym
-elementowym ciągiem
jego współrzędnych względem bazy
Dla mapy
otrzymujemy w tej bazie następujący opis:
| | ![{\displaystyle \phi \colon x\in U\to \phi (x)=x^{i}(x)a_{i}\in \mathbb {R} ^{n},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f52c1989959dfe9788faffa273bcd47c720c2ec) |
|
(2) |
który każdemu punktowi
przyporządkowuje uporządkowany ciąg
liczb rzeczywistych
czyli tzw. współrzędnych punktu
względem mapy ![{\displaystyle \phi .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b065a61a08fe84742ade270b4dbd8c087510e6)
Rozważmy dwie mapy
rozmaitości
dla których przekrój
Wtedy punktowi
odpowiadają współrzędne
w mapie
oraz
w mapie
Oba te układy współrzędnych na przekroju
wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:
| | ![{\displaystyle \phi _{\chi l}\colon (x^{i})\in \phi _{l}(U_{l}\cap U_{\chi })\to (x^{i'})=\phi _{\chi }\circ \phi _{l}^{-1}(x^{i})\in \phi _{\chi }(U_{l}\cap U_{\chi }).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc315cf5c4cf76f9120afdb4243bfeba403f9ff) |
|
(3) |
Samo
jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ef548febfc9981762740107858be9e3a5576c3)
Przechodząc do współrzędnych
w bazie
zapisujemy
za pomocą układu
funkcji rzeczywistych
zmiennych
| | |
|
(4) |
Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych
dla którego zachodzi
| | ![{\displaystyle \phi _{l\chi }=\phi _{\chi l}^{-1},\qquad U_{l}\cap U_{\chi }\neq \emptyset ),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252f8c883cc6771adbd40528072c64da0aefad1d) |
|
(5) |
| | ![{\displaystyle \phi _{\lambda l}=\phi _{\lambda \chi }\circ \phi _{\chi l},\qquad U_{\lambda }\cap U_{\chi }\cap U_{l}\neq \emptyset ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a28667e0b97d4947318a4cc57ae10da0bec7de) |
|
(6) |
Niech
będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości
Każdej mapie
jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie
funkcji
w tej mapie
| | ![{\displaystyle (x^{i})\in \phi _{l}(U_{l})\to f_{l}(x^{i})=f\circ \phi _{l}^{-1}(x^{i})\in \mathbb {R} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386916e09679046a4be66015217f7a4951bc6146) |
|
(7) |
Dla
mamy dwa przedstawienia
funkcji
w mapach
które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna
| | ![{\displaystyle f_{\chi }(x^{i'})=f_{l}\circ \phi _{l\chi }(x^{i'}),(x^{i'})\in \phi _{\chi }(U_{l}\cap U_{\chi }).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738e366399dcf2913de418adca1ba3cea30a3552) |
|
(8) |
Zatem każdej funkcji rzeczywistej
odpowiada rodzina
jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina
funkcji rzeczywistych
zmiennych rzeczywistych
dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując
otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości
Niech
wtedy na mocy (3), (8) będzie
| | ![{\displaystyle f_{\chi }\circ \phi _{\chi }=f_{l}\circ \phi _{l\chi }\circ \phi _{\chi }=f_{l}\circ \phi _{l}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b3002add96b79138a6010cc97996d3556e03ea) |
|
(9) |
tak, że definicja funkcji
nie zależy od wyboru mapy
![{\displaystyle (x\in U_{l}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70529f442139e8ecf83382cefd2c05b9931606e)
Zauważmy od razu
jest ciągła na
wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia
w mapach są funkcjami ciągłymi.
Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji
na
za pomocą jej przedstawień w mapach niech
można powiedzieć, że
jest różniczkowalna w punkcie
gdy
jest różniczkowalna w punkcie ![{\displaystyle (x_{0}^{i})=\phi _{l}(x_{0})\in \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64cd25d19f267ad7a53471fdceafcca0e9c81c2)
Dla
nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność
w punkcie
bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych
są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych
były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciągły. Wtedy różniczkowalność
będzie wynikała z różniczkowalności
oraz
na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.