Macierze Pauliego

Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej^[1]:

${\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}}\right],}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&~~~0\end{matrix}}\right],}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&~~~0\\0&-1\end{matrix}}\right].}$

Wolfgang Pauli (1900–1958)

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń ${\displaystyle \sigma _{x}\equiv \sigma _{1},}$ ${\displaystyle \sigma _{y}\equiv \sigma _{2}}$ i ${\displaystyle \sigma _{z}\equiv \sigma _{3}.}$

Czasem używa się również symbolu σ₀ na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru ${\displaystyle 2{\times }2,}$ choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem ${\displaystyle I,}$ tj.

${\displaystyle I=\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}}\right].}$

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta:

• w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz
• w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze ${\displaystyle 2{\times }2.}$

Właściwości algebraiczne

Niech ${\displaystyle I}$ oznacza macierz jednostkową.

(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&\!\!\!\!-1,\\\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0,\end{matrix}}}$

gdzie ${\displaystyle i=1,2,3.}$

(2) Iloczyny macierzy Pauliego

a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}^{2}&=I,\\\sigma _{1}\sigma _{2}&=i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=-i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=i\sigma _{1},\end{aligned}}}$

itd.

b) Ogólnie mamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}\sigma _{j}&=I\cdot \delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\end{aligned}},}$

gdzie ${\displaystyle i,j=1,2,3.}$

(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3},\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1},\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2},\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0,\end{aligned}}}$

gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i},}$

${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}.}$

Ogólnie mamy:

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\sum _{k}\,\epsilon _{ijk}\,\sigma _{k},}$

${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}I,}$

gdzie:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ – symbol Leviego-Civity,

${\displaystyle \delta _{ij}}$ – delta Kroneckera.

(4) Inna własność macierzy Pauliego:

${\displaystyle -i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=I.}$

Wartości i wektory własne

(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.

(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):

– dla macierzy ${\displaystyle \sigma _{x}\equiv \sigma _{1}{:}}$

${\displaystyle \psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{1}},\quad \psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{-1}},}$

– dla macierzy ${\displaystyle \sigma _{y}\equiv \sigma _{2}{:}}$

${\displaystyle \psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{i}},\quad \psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{-i}},}$

– dla macierzy ${\displaystyle \sigma _{z}\equiv \sigma _{3}{:}}$

${\displaystyle \psi _{z+}={\binom {1}{0}},\quad \psi _{z-}={\binom {0}{1}}.}$

Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny

(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}},}$

gdzie ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}$ – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Niech dany będzie wektor ${\displaystyle {\vec {a}},}$ taki że

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\hat {x}}+a_{2}{\hat {y}}+a_{3}{\hat {z}}.}$

Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ma postać:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}.}$

(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.

${\displaystyle a_{1}\sigma _{1}=\sigma _{1}a_{1}={\begin{bmatrix}0&a_{1}\\a_{1}&0\end{bmatrix}}.}$

Twierdzenia

${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\qquad \qquad (1)}$

oraz

${\displaystyle e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a},\qquad \qquad \qquad (2)}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}},}$
• ${\displaystyle {\hat {n}}}$ – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.

Dowód (#1)

${\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})&=a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\\&=a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\\&=a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\\&=a_{i}b_{j}\delta _{ij}\cdot I+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\\&=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\end{aligned}}}$

Dowód (#2)

Najpierw zauważmy równość

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I.}$

(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).

Dla pozostałych:

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}.}$

Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.\end{aligned}}}$

Kiedy podstawimy ${\displaystyle x=a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}),}$

otrzymamy

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle =I\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}.}$

Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,

${\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}.}$

Informatyka kwantowa

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako ${\displaystyle X,Y,Z}$ kolejno dla ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}.}$

Zobacz też

• równanie Pauliego
• spinor Pauliego

Inne:

• algebra Liego
• kwaterniony
• macierze Diraca
• wektor Blocha