Moment siły

Moment siły^[a] (moment obrotowy). – iloczyn wektorowy promienia wodzącego ${\displaystyle {\vec {r}},}$ o początku w punkcie O (znajdującym się na wirtualnej osi obrotu) i końcu w punkcie działania siły ${\displaystyle {\vec {F}}}$^[1]:

${\displaystyle {\vec {M}}_{o}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}$

Zależności między siłą ${\displaystyle F,}$ momentem siły ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (M),}$ pędem ${\displaystyle p}$ oraz momentem pędu ${\displaystyle L}$

Najczęściej jest oznaczany literą M lub T (z ang. Torque). Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor ${\displaystyle {\vec {F}}}$ i promień wodzący ${\displaystyle {\vec {r}}.}$

Określa się także moment siły względem osi, jest on równy rzutowi wektora momentu siły na tę prostą. Współrzędne ${\displaystyle M_{x},M_{y},M_{z}}$ wektora ${\displaystyle {\vec {M}}_{o}}$ nazywają się momentami siły względem odpowiednich osi ${\displaystyle x,y,z.}$

Jednostką momentu siły jest niutonometr [Nm]. Jednostka ta jest zdefiniowana analogicznie jak dżul, czyli jednostka energii. Aby unikać nieporozumień, nie nazywa się niutonometra dżulem.

Warunki statyki dla ruchu obrotowego

Bryła sztywna pozostaje w spoczynku gdy:

• Suma wektorów wszystkich sił zewnętrznych działających na bryłę równa jest 0,
• Suma wektorów wszystkich zewnętrznych momentów sił (liczonych względem dowolnej wspólnej osi) działających na bryłę równa jest 0.

Moment obrotowy dla punktu

Cząstka znajduje się w odległości r od jej osi obrotu. W chwili zadziałania siły F na cząstkę, tylko składowa prostopadła F_⊥ generuje moment obrotowy. Taki wektorowy moment siły τ = r × F uzyskuje wartość τ = |r| |F_⊥| = |r| |F| sin θ i jest skierowany do czytelnika (zgodnie z zasadą prawej dłoni)

W fizyce teoretycznej i edukacji często rozpatrywane są zagadnienia dynamiki punktów, gdzie ich kształt i wielkość mogą być zaniedbane. W teoretycznym przypadku masy obiektu skupionej w punkcie, równania wektorowe zamienia się na równania skalarne w postaci:

${\displaystyle M_{o}=r\times F}$

Gdzie: r - ramię działania siły, F - wartość składowej prostopadłej siły.

Moment obrotowy dla bryły i wielu punktów

W przypadku rozpatrywania bryły sztywnej, której masa rozłożona jest na pewnej objętości i może ona przyjmować dowolny kształt lub w wypadku analizy wzajemnie powiązanej chmury punktów o masach skupionych niezbędne jest uwzględnienie właśnie tych wzajemnych właściwości wewnętrznych obiektu.

II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przyjmuje wtedy postać:

${\displaystyle {\vec {M}}={\mathbf {I}}\times {\vec {\varepsilon }}}$

Gdzie: ${\displaystyle {\mathbf {I}}}$ - macierz momentu bezwładności w 3 wymiarach względem osi obrotu, ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}}$ - przyspieszenie kątowe względem osi obrotu.

Wynikiem takiej operacji na macierzach jest macierz momentów siły dla poszczególnych rozpatrywanych wymiarów. Z punktu widzenia mechaniki teoretycznej pożądane jest zwykle by układy pracowały momentem siły względem osi głównych. Zapewnia to stabilną pracę i optimum energetyczne.

Przykład działania momentu siły

W przypadku dźwigni dwustronnej o nierównych ramionach pozostanie ona w równowadze, gdy wartości momentów sił przyłożone do obu ramion będą równe, a ściślej, gdy suma wektorów momentów będzie równa zeru:

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}=0.}$

W przypadku pokazanym na rysunku, gdy siły ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{2}}$ są prostopadłe do wektorów ${\displaystyle r_{1}}$ i ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{1}\cdot P_{1}-r_{2}\cdot P_{2}=0.}$

Związek z mocą

Znając moc ${\displaystyle P}$ obracającego się urządzenia i jego prędkość kątową ${\displaystyle \omega ,}$ można wyznaczyć moment siły, ponieważ

${\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}={\frac {Fds}{dt}}={\frac {Frd\alpha }{dt}},}$

${\displaystyle P=M\omega ,}$

gdzie:

${\displaystyle W}$ – praca,

${\displaystyle r}$ – ramię przyłożenia siły, mierzone od osi obrotu urządzenia.

W ten sposób można wyznaczyć na przykład moment obrotowy wału.

Zobacz też

• moment bezwładności

Uwagi

1. W fizyce teoretycznej zamiennie stosuje się pojęcie „moment obrotowy”, natomiast w inżynierii stosuje się terminy „moment zginający”, „moment skręcający” i inne.