Monada (teoria kategorii)

Monada (kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) – w teorii kategorii, trójka ${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$ dla której ${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ jest pewnym funktorem (kowariantnym), a ${\displaystyle \eta \colon 1_{\mathcal {C}}\to T}$ (${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$ oznacza identyczność) i ${\displaystyle \mu \colon T\circ T\to T}$ są takimi transformacjami naturalnymi że:

• ${\displaystyle \mu \circ \mu T=\mu \circ T\mu }$
• ${\displaystyle \mu \circ \eta _{T}=1=\mu \circ T\eta .}$

Nie mylić z: monada (algebra).

Na przykład jeżeli ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ jest porządkiem częściowym, monadą nad ${\displaystyle P}$ jest monotoniczna funkcja ${\displaystyle T\colon P\to P}$ taka, że ${\displaystyle x\leqslant Tx}$ oraz ${\displaystyle TTx\leqslant Tx}$ dla dowolnego ${\displaystyle x\in P.}$ (Te dwie nierówności wyrażają typy transformacji ${\displaystyle \eta }$ i ${\displaystyle \mu .}$ Dzięki temu, że relacja ${\displaystyle \leqslant }$ jest przechodnia, diagramy w definicji monady komutują.) Z powyższych zależności dla ${\displaystyle T}$ wynika, że ${\displaystyle Tx\leqslant TTx,}$ czyli ${\displaystyle TT=T.}$ Funkcja ${\displaystyle T}$ jest więc idempotentna i traktuje się ją zwykle jako operację domknięcia.

Zobacz też

• monada (programowanie)

Bibliografia

• Ajith Abraham, Rafael Falcon, Rafael Bello: Rough Set Theory: A True Landmark in Data Analysis, Studies in Computational Intelligence, Vol. 174/2009, s. 52

Linki zewnętrzne

• Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 11: Monady. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-09].
• Monad. HaskellWiki. [dostęp 2010-08-12].