Teoria kategorii

Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a^[1]. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem ${\displaystyle f\colon A\to B.}$ Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold Hurewicz^{[uwaga 1][2]}.

Na teorię kategorii można patrzeć rozmaicie. Można uważać ją za wyraźnie określoną teorię matematyczną, mającą swoje pojęcia pierwotne, aksjomaty, definicje, twierdzenia, dowody i bardzo ważne zastosowania w wielu innych działach matematyki, zwłaszcza w algebrze homologicznej, topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej, a także w teorii języków programowania.

Można też podejść do teorii kategorii inaczej: jako do pewnej ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych, mającej wiele cech algebry, unifikującej – nieraz w nieoczekiwany sposób – pojęcia z różnych dziedzin, konkurującej z podejściem mnogościowym.

Punktem wyjścia teorii mnogości są pojęcia: element, zbiór i przynależenie ${\displaystyle \in .}$ Punktem zaś wyjścia teorii kategorii są wyidealizowane funkcje (odwzorowania), zwane morfizmami lub strzałkami, ich składanie i odwracanie, a same elementy (argumenty bądź wartości funkcji) odgrywają rolę drugorzędną (lub nieraz wcale ich nie ma). Jedną z cech kategoryjnego podejścia jest specyficzne stosowanie diagramów przemiennych.

Teoria kategorii może też służyć jako podstawa, w której ramach da się zrekonstruować teorię mnogości i tym samym też niemal całą matematykę; ponadto można użyć środków teorii kategorii do badania logicznych aspektów pewnych teorii matematycznych i informatyki, zarówno z punktu widzenia logiki klasycznej, jak i intuicjonistycznej^{[uwaga 2]}.

Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki.

Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane swą pionierską pracę^[3] z 1945 roku zaczęli od postawienia następującego problemu. Niech dana będzie (aksjomatycznie określona) n-wymiarowa przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i jej przestrzeń sprzężona ${\displaystyle V^{*}}$ (określona jako przestrzeń wszystkich form liniowych ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$). Przestrzeń ${\displaystyle V^{*}}$ jest też n-wymiarowa, zatem musi być ona izomorficzna z ${\displaystyle V.}$ Jednakże niemożliwe jest wskazanie izomorfizmu bez dokonania arbitralnego wyboru: każdy izomorfizm ${\displaystyle V\to V^{*}}$ zależy od wybrania bazy w przestrzeni ${\displaystyle V}$^{[uwaga 3]}. Wiadomo natomiast, że przyporządkowując każdemu wektorowi ${\displaystyle \mathbf {u} }$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ funkcjonał ${\displaystyle \psi _{\mathbf {u} }}$ na ${\displaystyle V^{*},}$ tj. element przestrzeni ${\displaystyle V^{**}=(V^{*})^{*},}$ określony wzorem ${\displaystyle \psi _{\mathbf {u} }(\varphi )=\varphi (\mathbf {u} )}$ dla ${\displaystyle \varphi \in V^{*},}$ otrzymuje się nieobarczony uznaniowym wyborem bazy, kanoniczny izomorfizm liniowy ${\displaystyle V\to V^{**}.}$ Podobnie wśród wielu innych znanych izomorfizmów w matematyce niektóre z nich narzucają się jako kanoniczne, naturalne, czy uniwersalne. Eilenberg i Mac Lane postawili pytanie: czy można podać ścisłe, matematyczne określenie owego intuicyjnego pojęcia naturalności izomorfizmu? Aby to zrealizować, zdefiniowali najpierw pojęcie kategorii, następnie pojęcie funktora z jednej kategorii do drugiej i podali definicję naturalnej transformacji funktorów i naturalnej równoważności funktorów^{[uwaga 4]}.

W teorii kategorii można wyróżnić dziś jej część ogólną, w której fundamentalne jest pojęcie funktora sprzężonego, oraz rozmaite teorie dotyczące kategorii bardziej szczegółowych, z których najważniejsze są kategorie abelowe, ściśle powiązane z algebrą homologiczną.

Kategorie przekształceń

Pojęcie kategorii jest uogólnieniem pojęcia grupy, w szczególności grupy przekształceń. Grupą przekształceń nazywamy dowolny zbiór ${\displaystyle G}$ przekształceń^{[uwaga 5]} spełniających następujące warunki:

${\displaystyle ({\text{G}}_{0})}$ Wszystkie przekształcenia są zdefiniowane na pewnym ustalonym zbiorze ${\displaystyle X}$ i ich wartości też należą do ${\displaystyle X.}$

${\displaystyle ({\text{G}}_{1})}$ Jeśli przekształcenia ${\displaystyle f\colon X\to X}$ i ${\displaystyle g\colon X\to X}$ należą do ${\displaystyle G,}$ to ich złożenie ${\displaystyle g\circ f\colon X\to X}$ określone jako ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ też należy do ${\displaystyle G.}$

${\displaystyle ({\text{G}}_{2})}$ Przekształcenie tożsamościowe ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}(x)=x}$ z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle X}$ należy do ${\displaystyle G.}$

${\displaystyle ({\text{G}}_{3})}$ Każde przekształcenie ${\displaystyle f}$ należące do ${\displaystyle G}$ jest wzajemnie jednoznaczne, tj. różnowartościowe i na ${\displaystyle X,}$ a ponadto przekształcenie odwrotne ${\displaystyle f^{-1}\colon X\to X}$ też należy do ${\displaystyle G.}$

Jeżeli odrzucimy warunek ${\displaystyle ({\text{G}}_{3}),}$ to otrzymamy pojęcie półgrupy transformacji z tożsamością.

Jeżeli ponadto odrzucimy warunek ${\displaystyle ({\text{G}}_{0}),}$ zastępując przy tym warunki ${\displaystyle ({\text{G}}_{1})}$ i ${\displaystyle ({\text{G}}_{2})}$ warunkami

${\displaystyle ({\text{G}}_{\text{kat-1}})}$ Jeśli przekształcenia ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ i ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ należą do ${\displaystyle G,}$ to ich złożenie ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ też należy do ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle ({\text{G}}_{\text{kat-2}})}$ Jeśli przekształcenie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ należy do ${\displaystyle G,}$ to przekształcenia tożsamościowe ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}</$