Operator Stokesa

Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy^[1].

Operator używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$ lub w sktócie ${\displaystyle D_{t}.}$

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$

różniczkowania cząstkowego względem czasu ${\displaystyle t.}$

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

Zapis klasyczny	${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$
Zapis indeksowy	${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{i}\nabla ^{i}}$
Zapis absolutny	${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}}$

gdzie: ${\displaystyle v}$ – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu^[1].

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako ${\displaystyle \varphi ,}$ która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .}$

Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu^[1]:

${\displaystyle \phi =v,}$

${\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}$

Wyprowadzenie w analizie lokalnej

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej ${\displaystyle {\vec {x}}}$ w chwili ${\displaystyle t,}$ znajdzie się w chwili ${\displaystyle t+\Delta t}$ w punkcie ${\displaystyle {\vec {x}}+\Delta {\vec {x}}.}$ Z definicji pochodnej:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})-\phi (t,{\vec {x}})}{\Delta t}}.}$

Oznaczając:

${\displaystyle {\vec {v}}'={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}},}$

można zauważyć, że:

${\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\vec {v}}'={\vec {v}}.}$

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu ${\displaystyle (t,x,y,z),}$ otrzymuje się:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})&=\phi (t,{\vec {x}})+{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot \Delta {\vec {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta {\vec {x}}\,\Delta {\vec {x}})+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})\\&=\phi (t,{\vec {x}})+\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).\end{aligned}}}$

Stąd:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\vec {v}}'\cdot {\vec {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\phi =\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\phi .}$

Wyprowadzenie alternatywne

Różniczka zupełna funkcji ${\displaystyle \phi (t,x,y,z)}$ ma postać:

${\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}dz,}$

dzieląc przez ${\displaystyle dt,}$ możemy zapisać:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},}$

uwzględniając, że prędkość ${\displaystyle {\vec {v}}=[u,v,w]=\left[{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right]}$ otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \phi }{\partial z}}.}$

Co można zapisać, używając operatorów:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \phi .}$

W literaturze oznaczenia ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ oraz ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$ używane są zamiennie.