Paradoks Buralego-Fortiego

Paradoks Buralego-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 roku przez Cesarego Buralego-Fortiego^[1], ucznia Giuseppe Peana, mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Cesare Burali-Forti

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór ${\displaystyle A,}$ którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór ${\displaystyle B}$ tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

${\displaystyle \alpha =\bigcup B}$ i ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$

są liczbami porządkowymi.

Wówczas ${\displaystyle \alpha \in \alpha \cup \{\alpha \}}$ oraz ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}\in B,}$ a więc ${\displaystyle \alpha \in \bigcup B=\alpha ,}$ co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.