Prawo Hooke’a

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia^[1]. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły^[2][3]. Stosunek naprężenia wywołanego przyłożeniem siły do powstałego odkształcenia, jest nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Omawiana zależność pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nieprzekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (łac. jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv^[4].

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń dla stali zwykłej z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta^[5]. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnik proporcjonalności to moduł Younga E

${\displaystyle {\frac {F}{S}}=E{\frac {\Delta l}{l}},\quad \Delta l={\frac {lF}{SE}},}$

gdzie:

${\displaystyle F}$ – siła rozciągająca,

${\displaystyle S}$ – pole przekroju poprzecznego,

${\displaystyle E}$ – moduł Younga,

${\displaystyle \Delta l}$ – wydłużenie pręta,

${\displaystyle l}$ – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

gdzie:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l}}}$ – odkształcenie,

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}}$ – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego stanu naprężenia w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis Cauchy^[2], poniżej podano uogólnioną postać prawa Hooke'a^[6], jest ono tu zapisane w postaci układu równań:

dla naprężeń i odkształceń normalnych (liniowych)

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})],}$

${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})],}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})],}$

dla naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych (kątowych)

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}},}$

${\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}},}$

${\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}},}$

gdzie:

${\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y},}$ ${\displaystyle \varepsilon _{z}}$ – składowe odkształcenia normalnego w punkcie,

${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$ – naprężenie normalne w punkcie,

${\displaystyle \gamma _{xy},\gamma _{yz},\gamma _{xz}}$ – składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,

${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{yz},\tau _{xz}}$ – naprężenie styczne w punkcie,

${\displaystyle G}$ – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,

${\displaystyle E}$ – moduł Younga,

${\displaystyle \nu }$ – współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako operator proporcjonalności stosuje się tensor sztywności ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \sigma ^{ij}=C^{ijkl}\varepsilon _{kl}}$

lub tensor podatności ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \varepsilon _{kl}=D_{klij}\sigma ^{ij},}$

gdzie sumowanie odbywa się wg konwencji sumacyjnej Einsteina.