Proporcja (statystyka)

Proporcja, inaczej frakcja^[1] lub wskaźnik struktury^[2] – w statystyce parametr opisujący udział w populacji jednostek spełniających dany warunek. Proporcja wyrażana jest w formie ułamka lub w procentach. Proporcję z populacji oznacza się grecką literą ${\displaystyle \pi }$ lub literą ${\displaystyle p}$. Nieobciążonym estymatorem proporcji w populacji jest proporcja (częstość) z próby oznaczana symbolem ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ lub ${\displaystyle {\hat {p}}}$.

Definicja

W populacji skończonej proporcję możemy wyznaczyć dzieląc liczbę elementów spełniających dany warunek ${\displaystyle M}$ przez liczbę wszystkich elementów populacji ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle p={\frac {M}{N}}}$.

Analogicznie, proporcja (częstość) w próbie to:

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {m}{n}}}$,

gdzie ${\displaystyle m}$ to liczba elementów spełniających dany warunek w próbie, zaś ${\displaystyle n}$ to liczebność próby.

Estymacja

Przedział ufności dla proporcji wyznacza się często, wykorzystując przybliżenie rozkładem normalnym, za pomocą następującego wzoru:

${\displaystyle {\hat {p}}\pm z{\sqrt {\frac {{\hat {p}}\left(1-{\hat {p}}\right)}{n}}}}$,

gdzie ${\displaystyle {\hat {p}}}$ to proporcja z próby, ${\displaystyle n}$ to liczba obserwacji w próbie, a ${\displaystyle z}$ to odpowiedni kwantyl standardowego rozkładu normalnego zależny od przyjętego poziomu ufności.

Zaproponowano również inne sposoby wyznaczania przedziału ufności, mające lepsze właściwości^[3].