Równanie przewodnictwa cieplnego

Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial t}}u-\triangle _{x}u=0,&x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}}$

Wykres zmian temperatury kwadratowej płyty, obliczony z równania ciepła. Wysokość i zaczerwienienie wykresu określają temperaturę w punktach płyty. Stan początkowy obejmuje równomiernie gorący obszar w kształcie kopyta (czerwony) otoczony równomiernie zimnym obszarem (żółty). W miarę upływu czasu ciepło rozprzestrzenia się w zimnym obszarze.

Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.

gdzie ${\displaystyle g(x)}$ – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, ${\displaystyle u(x,t)}$ – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu ${\displaystyle t.}$

Rozwiązanie równania przewodnictwa

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności ${\displaystyle u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty ))\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty )).}$

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

${\displaystyle E(x,t)=(4\pi t)^{-n/2}\exp \left({\frac {-|x|^{2}}{4t}}\right).}$

Można sprawdzić, że spełnia ono równania:

• ${\displaystyle {}\,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{E(x,t)\mathrm {d} x}=1,}$
• ${\displaystyle E_{t}-\triangle _{x}E=0.}$

Jeśli funkcja ${\displaystyle g}$ jest ciągła i ograniczona to funkcja

${\displaystyle u(x,t)={\begin{cases}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{g(y)E(x-y,t)\mathrm {d} y},&t>0\\g(x),&t=0\end{cases}}}$

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty ))\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )).}$

Używając pojęcia splotu można napisać:

${\displaystyle u(x,t)=(g(\cdot )*E(\cdot ,t))(x).}$

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła

Przypuśćmy, że ${\displaystyle g}$ ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest ${\displaystyle g>0.}$ Wówczas

${\displaystyle u(x,t)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{g(y)E(x-y,t)}\mathrm {d} y\geqslant 0}$

dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},t>0.}$ Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr ${\displaystyle \tau }$ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej^[1]:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {D}{\tau }}},}$

gdzie ${\displaystyle D}$ to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10⁻¹¹ s dla aluminium, 10⁻⁶ s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji ${\displaystyle \tau =0}$ s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła

Niech ${\displaystyle T>0}$ ustalony czas, oraz ${\displaystyle u(x,t)}$ ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]}$ oraz ${\displaystyle \Omega _{0}=\mathbb {R} ^{n}\times {0}.}$ Wówczas

• ${\displaystyle \sup _{\Omega }{u(x,t)}=\sup _{\Omega _{0}}{u(x,0)},}$
• ${\displaystyle \inf _{\Omega }{u(x,t)}=\inf _{\Omega _{0}}{u(x,0)}.}$

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie ${\displaystyle t=0}$ przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwa

Interpretujemy funkcję ${\displaystyle u(x,t)}$ jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło ${\displaystyle J(x,t)}$ ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

${\displaystyle J(x,t)=-k\cdot \triangledown _{x}{u}.}$

Ponadto zakładamy, że każdy obszar ${\displaystyle V}$ ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

${\displaystyle \int \limits _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} V=-\int \limits _{\partial V}{J\circ n}\mathrm {d} V}$

A z twierdzenia Gaussa:

${\displaystyle \int \limits _{V}\operatorname {div} J\mathrm {d} V=\int \limits _{\partial V}{J\circ n}\mathrm {d} V,}$

gdzie ${\displaystyle J\circ n={\frac {\partial J}{\partial n}}}$ oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

${\displaystyle \int \limits _{V}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+\operatorname {div} {J}\right)\mathrm {d} V=0.}$

Z dowolności ${\displaystyle V}$ mamy:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\operatorname {div} J=0,}$

czyli:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\triangle _{x}{u}=0.}$

Poprawność zagadnienia

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji ${\displaystyle g,}$ zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. ${\displaystyle u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty ))\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty )\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty ))}$ zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz też

• ciepło
• przewodność cieplna
• przewodzenie ciepła