Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua – w fizyce teoria opisująca nadprzewodnictwo, czyli zjawisko polegające na prawie całkowitym zaniku oporu elektrycznego, które pozwala na przepływ prądu o bardzo dużym natężeniu prawie bez strat. Pole magnetyczne nie może wniknąć do wnętrza nadprzewodnika, co powoduje, że wykonany z niego przedmiot lewituje nad magnesem. Teoria została zaproponowana przez Witalija Ginzburga i Lwa Landaua.

Magnes lewituje nad schłodzonym nadprzewodnikiem

Teoria fenomenologiczna

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua podobnie jak inne teorie przejść fazowych ma charakter fenomenologiczny, co znaczy, że opisuje zjawisko w postaci pewnego równania nie odnosząc się do jego źródeł. Powstaje ona dzięki umiejętnemu dopasowaniu matematycznych zależności, ale nie pozwala na zrozumienie zjawisk zachodzących w mikroświecie, które są podstawą nadprzewodnictwa. W niskich temperaturach (ciekły hel –272 °C) zjawisko to opisuje teoria BCS, ale załamuje się ona w przypadku nadprzewodnictwa wysokotemperaturowego (ciekły azot –196 °C).

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua jest użyteczna kiedy zjawiska w skali mikro są nieistotne do przewidzenia zjawisk zachodzących w nadprzewodniku. Opiera się na rozumowaniu zbliżonym do stosowanego w termodynamice, czyli nauce o procesach cieplnych w gazach. Pojawiają się w niej parametry takie jak masa efektywna oraz ładunek efektywny, którym odpowiada masa pary Coopera, czyli dwóch sparowanych elektronów oraz ładunek elektronu. Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua nie wyjaśnia dlaczego parametry te mają akurat taką postać i dopiero dzięki BCS można zrozumieć podstawy fizyczne zjawiska.

Energia swobodna

Teoria nadprzewodnictwa Ginzburga-Landaua została oparta na wcześniejszej teorii Landaua dotyczącej przejścia fazowego drugiego rzędu. Energia swobodna ${\displaystyle F}$ nadprzewodnika w okolicy przejścia fazowego może być wyrażona jako zespolony parametr rzędu ${\displaystyle \psi ,}$ który opisuje poziom nadprzewodnictwa.

W teorii Ginzburga-Landaua postuluje się lagranżjan pola ${\displaystyle \varphi ^{4},}$ tzn.:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi \nabla \psi ^{\star }+\alpha |\psi |^{2}+\beta |\psi |^{4},\qquad {}}$(*)

gdzie:

${\displaystyle \nabla }$ – operator nabla,

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ – lagranżjan układu nadprzedwonika,

${\displaystyle \hbar }$ – zredukowana stała Plancka,

${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ – stałe empiryczne, czyli dobrane tak, aby najlepiej pasowały do pomiarów,

${\displaystyle m}$ – masa spoczynkowa elektronu.

Minimalizując metodą wariacyjną energię swobodną dla takiego pola otrzymujemy zależność opisaną równaniem:

${\displaystyle F=F_{n}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m}}\left|\left(-i\hbar \nabla -2e{\vec {A}}\right)\psi \right|^{2}+{\frac {|{\vec {H}}|^{2}}{2\mu _{0}}},\qquad {}}$ (**)

gdzie:

${\displaystyle F_{n}}$ – energia swobodna w fazie normalnej,

${\displaystyle {\vec {A}}}$ – potencjał wektorowy,

${\displaystyle {\vec {H}}}$ – natężenie pola magnetycznego,

${\displaystyle \mu _{0}}$ – przenikalność magnetyczna próżni,

${\displaystyle e}$ – ładunek elektronu.

Równania Ginzburga-Landaua

Zgodnie z zasadami termodynamiki każdy układ dąży do minimalizacji energii swobodnej. Odszukując minimum równania (**) oraz uwzględniając fluktuacje w parametrze porządku oraz potencjale pola elektromagnetycznego, można wyznaczyć równania Ginzburga-Landaua:

${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -2e{\vec {A}}\right)^{2}\psi =0,\qquad {}}$(***)

${\displaystyle {\vec {J}}={\frac {2e}{m}}\left(\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -2e{\vec {A}}\right)\psi \right),\qquad {}}$(****)

gdzie:

${\displaystyle {\vec {J}}}$ – gęstość prądu,

i – jednostka urojona.

Równanie (***) jest podobne do czasozależnego równania Schrödingera i określa parametr porządku ${\displaystyle \psi }$ w oparciu o przyłożone pole magnetyczne. Równanie (****) pozwala wyznaczyć natężenie prądu nadprzewodnictwa

Parametry ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta }$ wynoszą odpowiednio:

${\displaystyle \alpha =1{,}83{\frac {1}{\xi _{0}}}{\frac {T-T_{0}}{T_{0}}},}$

${\displaystyle \beta =0{,}35N(0)\left({\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi _{0}^{2}}}\right)^{2}{\frac {1}{(k_{B}T_{0})^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle N(0)}$ jest gęstością stanów na powierzchni Fermiego, a ${\displaystyle \xi _{0}}$ jest długością koherencji. Reszta oznaczeń standardowa.

Długości charakterystyczne

Równania Ginzburga-Landaua umożliwiają opis wielu ciekawych zjawisk związanych z nadprzewodnikami, a szczególnie dwie długości charakterystyczne dla tego typu materiałów.

Pierwsza to długość koherencji ${\displaystyle \xi ,}$ określająca największą odległość, na jakiej wystąpią zmiany par porządku opisującą rozmiar fluktuacji termodynamicznych w fazie nadprzewodzącej ${\displaystyle \psi ,}$ która dana jest równaniem:

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.}$

Druga z nich to głębokość wnikania pola magnetycznego w nadprzewodnik ${\displaystyle \lambda ,}$ opisana zależnością:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}}.}$

gdzie ${\displaystyle \psi _{0}}$ – wartość parametru rządu w stanie równowagi przy braku pola elektromagnetycznego.

Parametr Ginzburg-Landau ${\displaystyle \kappa }$ można obliczyć z zależności:

${\displaystyle \kappa \ ={\frac {\lambda }{\xi }}.}$

Dla nadprzewodników niskotemperaturowych:

${\displaystyle \kappa <{\frac {1}{\sqrt {2}}},}$

a dla wysokotemperaturowych:

${\displaystyle \kappa >{\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Dla przewodników niskotemperaturowych przejście fazowe jest pierwszego rzędu, a dla wysokotemperaturowych drugiego^[1], co zostało dowiedzione podczas wyprowadzania dualnej teorii Ginzburg-Landau.

Najważniejszym odkryciem opartym na teorii Ginzburg-Landau, było zaobserwowanie zjawiska polegającego na kwantyzacji kanałów, którymi silne pole magnetyczne penetruje nadprzewodnik, tworząc charakterystyczne sześciokątne struktury.

Zobacz też

• energia swobodna
• lagranżjan
• nadprzewodnictwo
• spontaniczne łamanie symetrii
• teoria BCS
• teoria pola
• teoria przejść fazowych
• termodynamika
• zjawiska krytyczne