Test White’a

Test White’a – test pozwalający zbadać, czy wariancja reszt w modelu jest stała, tzn. czy składnik losowy jest homoskedastyczny. Test został zaproponowany przez Halberta White’a w artykule z 1980 roku. Szczególnym przypadkiem testu White’a jest test RESET Ramseya wykorzystywany do testowania poprawności formy funkcyjnej modelu.

Oznaczenia

Rozważamy model postaci

${\displaystyle Y=X\beta +\varepsilon ,}$

gdzie ${\displaystyle Y}$ jest wektorem zaobserwowanych wielkości zmiennej objaśnianej, ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{T}}$ jest macierzą wymiaru ${\displaystyle n\times K}$ zawierającą zaobserwowane wielkości zmiennych objaśniających, zaś ${\displaystyle \varepsilon =(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{n})^{T}}$ jest wektorem błędów losowych. Oznaczmy:

• ${\displaystyle M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} (X_{i}^{T}X_{i}),}$
• ${\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} (\varepsilon _{i}^{2}X_{i}^{T}X_{i}),}$
• ${\displaystyle \Psi _{i}}$ niech będzie wektorem zawierającym elementy z dolnego trójkąta macierzy ${\displaystyle X_{i}^{T}X_{i},}$
• ${\displaystyle {\bar {\Psi }}_{n}}$ niech będzie wektorem zawierającym elementy z dolnego trójkąta macierzy ${\displaystyle M_{n},}$
• ${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} ([\varepsilon _{i}^{2}-\sigma ^{2}(\varepsilon _{i})]^{2}(\Psi _{i}-{\bar {\Psi }}_{n})^{T}(\Psi _{i}-{\bar {\Psi }}_{n})).}$

Założenia

Zakładamy, że istnieją stałe ${\displaystyle \delta ,\Delta >0,}$ takie że:

• ${\displaystyle \det M_{n},\det V_{n},\det B_{n}>\delta }$ dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} |\varepsilon ^{4}|^{1+\delta }<\Delta }$ dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} |X_{ij}X_{ik}X_{il}X_{im}|^{1+\delta }<\Delta }$ dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ oraz ${\displaystyle j,k,l=1,\dots ,K,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\det \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} ([\varepsilon _{i}^{2}-\sigma ^{2}(\varepsilon _{i})]^{2})>\delta }$ dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n.}$

Zakładamy ponadto

• ${\displaystyle \mathbb {E} |\varepsilon _{i}|^{4}=\mu _{4}}$ dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

Testowane hipotezy

Hipoteza zerowa ${\displaystyle H_{0}{:}}$

• składnik losowy ${\displaystyle \varepsilon }$ jest homoskedastyczny,
• zmienne objaśniające są nieskorelowane z zaburzeniem losowym,
• forma funkcyjna modelu jest prawidłowa.

${\displaystyle H_{1}{:}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ jest nieprawdziwa

Opis działania

1. Estymujemy wyjściowy model ${\displaystyle Y=X\beta +\varepsilon }$ i zapamiętujemy wektor reszt ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}.}$
2. Przeprowadzamy regresję liniową zmiennej ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}^{2}}$ na stałej oraz zmiennych ${\displaystyle \Psi _{1},\dots ,\Psi _{\frac {K(K+1)}{2}}}$ (tzn. na stałej, kwadratach zmiennych objaśniających oraz wszystkich mieszanych iloczynach zmiennych objaśniających), uzyskując współczynnik determinacji ${\displaystyle R^{2}.}$ Przy założeniu ${\displaystyle H_{0}}$ statystyka ${\displaystyle nR^{2}}$ ma rozkład ${\displaystyle \chi _{K(K+1)/2}^{2}}$ (zob. rozkład chi kwadrat).
3. Obliczamy wielkość statystyki ${\displaystyle nR^{2}}$ i na tej podstawie weryfikujemy hipotezę ${\displaystyle H_{0}}$ (zob. weryfikacja hipotez statystycznych).

Bibliografia

• Halbert White. A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity. „Econometrica”. 48 (4). s. 817–838.