Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej

Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące o zerowaniu się pochodnej funkcji różniczkowalnej osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.

Definicja

Ustalmy ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} .}$

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ oraz ${\displaystyle f(x_{0})=\max\{f(x)\colon x\in (a,b)\}}$ lub ${\displaystyle f(x_{0})=\min\{f(x)\colon x\in (a,b)\},}$ to^[1]:

${\displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Dowód

Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość granicy prawostronnej i lewostronnej ilorazu różnicowego. Funkcja z założenia jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ więc granice jednostronne są sobie równe.

Dowód w przypadku, gdy ${\displaystyle f(x_{0})}$ = max ${\displaystyle f(x).}$

Ponieważ

${\displaystyle f(x_{0})\geqslant f(x),}$

więc

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leqslant 0}$

i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}^{+}}~{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ ${\displaystyle \leqslant 0.}$

Podobnie wykazujemy

${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}^{-}}~{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ ${\displaystyle \geqslant 0.}$

Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\leqslant 0\wedge f'_{-}(x_{0})\geqslant 0,}$ więc

${\displaystyle f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})=f'_{-}(x_{0})=0.}$

Przypadku, gdy ${\displaystyle f(x_{0})}$ = min ${\displaystyle f(x),}$ dowodzi się analogicznie.

Zastosowanie

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie twierdzenia Rolle’a.