Funkcja

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”^{[uwaga 1]}), odwzorowanie^[1][2], przekształcenie^[3], transformacja^[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:

• dla danych dwóch zbiorów ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ funkcją nazywano każde przyporządkowanie^{[uwaga 2]} elementom zbioru ${\displaystyle X}$ po jednym elemencie zbioru ${\displaystyle Y}$^{[uwaga 3][5]};
• zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru ${\displaystyle X}$^[6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa „funkcja”.

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru ${\displaystyle X}$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru ${\displaystyle Y,}$ przy czym: (1) dwóm różnym elementom w ${\displaystyle X}$ może odpowiadać ten sam element ${\displaystyle Y}$ – funkcja nie musi być iniekcją; (2) nie każdy element zbioru ${\displaystyle Y}$ musi być wartością funkcji – funkcja nie musi być suriekcją.

Przykładem funkcji jest kwadrat liczby: y=x². Funkcja rzeczywista zdefiniowana tym wzorem ma wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych – jest nim parabola.

Wykres części rzeczywistej funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej.

Funkcje oznacza się na ogół literami ${\displaystyle f,g,h}$ itd. Jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ przyporządkowuje elementom zbioru ${\displaystyle X}$ elementy zbioru ${\displaystyle Y,}$ to pisze się: ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$ W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:

• zbiór ${\displaystyle X}$ nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów^[2], ponieważ jego każdy element ${\displaystyle x}$ nazywa się argumentem tej funkcji^[2] lub zmienną niezależną;
• zbiór ${\displaystyle Y}$ to przeciwdziedzina tej funkcji ${\displaystyle f}$ lub jej zbiór wartości^[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element ${\displaystyle y=f(x)}$ nazywa się wartością funkcji^[2] lub zmienną zależną^[7].

Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja ${\displaystyle R}$ jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów^[2]:

1. jednoznaczność^[8]: ${\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],}$
2. ${\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.}$

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne^[9]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych: ${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$

Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia^[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji^[10]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Riemann^[11].

Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki^[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:

• są głównym przedmiotem badań analizy;
• pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć kombinatoryki i teorii mnogości: moc zbioru^[12].
• pojawiają się w logice matematycznej w postaci funkcji zdaniowych (predykatów) i innych funktorów;
• stały się jednym z fundamentów informatyki, gdzie nazywa się tak odmianę procedury; powstałe całe metody programowania oparte na tym pojęciu jak programowanie funkcyjne;.

Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru ${\displaystyle X}$ do zbioru ${\displaystyle Y}$ oznacza się ${\displaystyle Y^{X}}$^[2].

Funkcja ${\displaystyle f=(X,Y,W)}$ to trójka uporządkowana składająca się z poniższych elementów^{[13][14][15][16][17][18][19]}:

• dziedziny ${\displaystyle X}$ będącej dowolnym zbiorem,
• przeciwdziedziny ${\displaystyle Y}$ również będącej dowolnym zbiorem,
• wykresu ${\displaystyle W\subseteq X\times Y}$ będącym zbiorem par, takim że ${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y:(x,y)\in W.}$

Wyjaśnienie: Wykres ${\displaystyle W}$ to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ z ${\displaystyle X}$ istnieje dokładnie jeden ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle Y,}$ taki że para ${\displaystyle (x,y)}$ znajduje się w zbiorze ${\displaystyle W}$ (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Definicja ${\displaystyle f=(X,Y,W)}$ nazywana jest również definicją Bourbakiego^[20][14] (wprowadzoną w 1954 r.^[21]) ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki^[22]. Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja ${\displaystyle f}$ staje się zbiorem. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. ${\displaystyle f=(W,X,Y)}$ albo ${\displaystyle f=(X,W,Y)}$. Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów^[15].

Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji tj. ${\displaystyle f=W}$ (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej (w latach ok. 1914–1921). Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Należy zauważyć że między ogólną definicją a zredukowaną istnieją poważne różnice^[23]. Powyższa zredukowana definicja oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze^[22].

Istnieją również definicje starsze, bardziej pierwtone i mniej precyzyjne, jednak współcześnie zykle nie używa się ich.

W tradycyjnej notacji zwykle rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdziedziny np.

Dana jest funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ określona wzorem ${\displaystyle f(x)=x/2}$,

tu najpierw podano dziedzinę ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (liczby naturane) i przeciwdziedzinę ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (liczby rzeczywiste), a następnie osobno zdefiniowano wykres (zbiór ${\displaystyle W}$ w formalnej definicji) poprzez formułę pozwalającą wyznaczyć każdy jego element - czyli każdą parę ${\displaystyle (x,y)=(x,f(x))=(x,x/2)}$, gdzie ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$, oraz ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ (symbol ${\displaystyle \in }$ oznacza przynależność do zbioru).

Dokładniej: poprzez podstawienie danego elementu ${\displaystyle x}$ dziedziny pod formułę ${\displaystyle f(x)=x/2=y}$ otrzymamy element przeciwdziedziny ${\displaystyle y}$, co pozwoli skonstruować parę ${\displaystyle (x,y)}$ bądącą elementem (punktem) wykresu ${\displaystyle W}$ funkcji, np. dla ${\displaystyle x=6}$ podstawiamy ${\displaystyle f(6)=6/2=3}$ - otrzymaliśmy więc parę ${\displaystyle (6,3)\in W}$, jeśli podobnie ucznimy dla pozostalych elementów dziedziny to znajdziemy wszystkie punktu (elementy) wykresu.

Bardziej formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:

${\displaystyle f=\left(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,{\frac {x}{2}}\right):x\in \mathbb {N} \right\}\right).}$

Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji).

Przykład 1

Funkcje używające tej samej formuły ${\displaystyle f(x)}$ do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ (poniżej oznaczono: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to liczby rzeczywiste a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ to liczby rzeczywiste większe od zera):

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2},}$ więc z definicji: ${\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ,g(x)=x^{2},}$ więc z definicji: ${\displaystyle g=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}$

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},h(x)=x^{2},}$ więc z definicji: ${\displaystyle h=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}),}$

${\displaystyle k\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \ ,k(x)=x^{2},}$ więc z definicji: ${\displaystyle k=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}).}$

mamy: ${\displaystyle k\neq g\neq f\neq h\neq k\neq f\neq h\neq g}$ (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: ${\displaystyle f}$ to suriekcja, ${\displaystyle h}$ to bijekcja, k to iniekcja.

Przykład 2

Rozważmy funkcję której dziedzina to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}}$ (iloczyn kartezjański) czyli każdy element ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ z dziedziny jest parą dwóch liczb rzeczywistych tj. ${\displaystyle x=(u,v)}$. Przeciwdziedziną zaś niech będzie ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zaś wykresem ${\displaystyle f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}}$. Zwróćmy uwagę że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje defacto dwie liczby ${\displaystyle u,v}$ (stanowiące jedną parę ${\displaystyle (u,v)}$ oznaczoną przez ${\displaystyle x}$ ) jako argument a zwraca w wyniku jedną liczbę (będącą sumą kwadratów elementów pary). Kożystając z tradycyjnej notacji zapiszemy

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(u,v)=u^{2}+v^{2}}$

zwróćmy uwagę, że zamiast ${\displaystyle f((u,v))}$ zapisano ${\displaystyle f(u,v)}$ a więc pominięto wewnętrzne nawiasy - jest to powszechnie stosowany skrót notacyjny. Formalnie funkcja przyjmuje tylko jeden argument (który jest parą liczb). Bardziej formalna definicja (nie stosowana w praktyce) wyglądała by tak:

${\displaystyle f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)}$

Funkcje których argument jest parą, trójką lub w ogólności n-tką nazywamy funkcjami wielu zmiennych.

Przykład 3

Argumentem funkcji może być n-tka zawierająca wiele elementów (np. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ przyjmuje trójkę liczb). Operacje arytmetyczne na liczbach są tego typu funkcjami np. dodawanie liczb naturalnych ${\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }$ (z indywidualną notacją). Wynikiem funkcji również może być n-tka zawierająca wiele wartości (np. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ przyjmuje parę a zwraca trójkę liczb). Funkcje które mogą przyjmować inne funkcje jako argument i zwracać liczbę jako wynik nazywane są funkcjonałami (np. funkcjonał ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$ zwracający pole pod wykresem funkcji). Funkcje które jako argument przyjmują pewne funkcje i zwracają inne funkcje nazywamy operatorami - operatory transformują/zmieniają daną funkcję (lub kilka funkcji) na inną i często do ich zapisu stosujemy indywidualna odrębną notację (np. transformata Fouriera ${\displaystyle {\hat {f}}}$, operator składania funkcji ${\displaystyle f\circ g}$, operator Nabla dla gradientu ${\displaystyle \nabla f}$ itp.)

Detaliczne omówienie wybranych przykładów w świetle formalnej definicji

${\displaystyle f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz}$, (${\displaystyle [0,1]}$ to przedział domknięty wszystkich liczb rzeczywistych od 0 do 1) z definicji ${\displaystyle f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})}$, np. funkcja określa temperaturęw każdym punkcie kostki o boku 1, w każdym momencie przedział czasu od 0 do 1. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)}$. Wynikiem działania tej funkcji jest trójka liczb którą można interpretować jak współrzedne x,y,z w przestrzeni 3D (w tym przypadku z=0). Z definicji ${\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})}$ (funkcja przyporządkowuje każdej liczbie pewien punkt na płaszczyźnie (z=0) w przestrzeni trójwymiarowej - czyli rysuje płaską krzywą w 3D), np. funkcja określa położenie pewnego pojazdu na płaskiej nawierzchni w czasie x. ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}}$, gdzie ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ to zbiór wszystkich funkcji ${\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ tj. działających z liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ w liczby naturalne ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Tutaj ${\displaystyle x}$ nie oznacza liczby tylko funkcję, a ${\displaystyle x(-1)}$ to wartość tej funkcji dla minus jedynki. Funkcja ${\displaystyle f(x)}$ zwraca więc pierwiastek z pewnej liczby naturalnej która jest wartością funkcji ${\displaystyle x}$ w minus jeden. Z definicji formalnej zapisujemy ${\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}$. Funkcja której argumentem są inne funkcje a wartościami liczby (zamienia/mapuje/transformuje funkcje na liczby) to funkcjonał. ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}}$, tutaj funkcja f jako argument bierze pewną funkcję ${\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ a jako wynik zwraca inną funkcję ${\displaystyle y:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$. Funkcje których argumentami są pewne funkcje a wynikiem inne funkcje (czyli zamieniają/transofmują jedne funkcje na inne funkcje) nazywamy operatorami. Poszczególne operatory mogą posiadać indywidualną niezależną notację (i nierzadko nazewnictwo oraz być centralnym elementem teorii matematycznych) np. dywergencja ${\displaystyle div(.),\nabla \cdot }$, transformata Fouriera ${\displaystyle {\hat {f}}}$ etc. . Detale przykładu ${\displaystyle }$ Wartość funkcji ${\displaystyle y}$, z przykładu, w każdym punkcie równa jest kwadratowi wartości funkcji ${\displaystyle x}$ w owym punkcie wymnorzonym przez ${\displaystyle \pi }$ tj. ${\displaystyle y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N} }$. Z definicji formalnej mamy: ${\displaystyle f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}$. Ponieważ funkcja ${\displaystyle x}$ ma taką samą dziedzinę jak funkcja ${\displaystyle y}$ oraz ${\displaystyle t}$ w formule na y jest użyte tylko w ${\displaystyle x(t)}$ to możemy operować na nich podobnie jak na zmiennych liczbowych (np. pisząc skrótowo ${\displaystyle y=\pi x^{2}}$ zamiast ${\displaystyle y(t)=\pi x(t)^{2}}$ co skraca notację). ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q} }$ (gdzie ${\displaystyle \lfloor t\rfloor }$ oznacza podłogę, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ to liczby wymierne) funkcja (operator) ${\displaystyle f}$ zmienia funkcję ${\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ w funkcję ${\displaystyle y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$. Bardziej formalnie (z definicji) ${\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})}$. Przykładowe użycie operatora ${\displaystyle f}$ dla funkcji ${\displaystyle x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z} }$ czyli zapis ${\displaystyle f(x)=y}$ da w wyniku funkcję ${\displaystyle y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10}$. ${\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }$ (użyto tu znaku "${\displaystyle +}$" zamist litery "${\displaystyle f}$") ta funkcja jest działaniem dodawania dwóch liczb naturalnych tzn. przyjmuje ona parę liczb a jako wynik zwraca jedną liczbę. Funkcja ta (podobnie jak inne działania arytmetyczne) ma swoją indywidualną notację tzn. nie piszemy ${\displaystyle +(a,b)}$ tylko ${\displaystyle a+b}$. Detaliczna definicja ${\displaystyle +}$ Będziemy chcieli zdefiniowac funkcję ${\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\{((a,b),a+b):a,b\in \mathbb {N} \}}$. Punktem z wykresu ${\displaystyle W}$ tej funkcji jest para ${\displaystyle ((a,b),a+b)}$ która zawiera informację o składnikach ${\displaystyle (a,b)}$ i wyniku ${\displaystyle a+b}$. Niemniej taki zapis jest niepoprawny gdyż definicja wewnątrz odwołje się do samej siebie (użyto czyli znaku ${\displaystyle +}$ po lewej i prawej stronie równości). Skonstruujumy zatem wykres tej funkcji inaczej. Najpierw skonstuujmy wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodjemy zero (czyli nic się nie zmienia więc nie musimy używać znaku ${\displaystyle +}$ w jego definiji): ${\displaystyle W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}}$ Następnie, korzystając z definicji von Neumanna liczb naturalnych, gdzie możemy użyć następnika zdefiniowanego jako ${\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}$ oraz ${\displaystyle 0=\{\}}$, możemy na bazie ${\displaystyle W_{0}}$ zdefiniować wykres ${\displaystyle W_{1}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}}$ dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodano 1, ale musimy zamiast działania ${\displaystyle a+1}$ (które właśnie definiujemy) użyć następnika S: ${\displaystyle W_{1}=\{((a,1),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}}$ podobnie możemy zrobić dla ${\displaystyle W_{2}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}}$, oraz ${\displaystyle W_{3},...}$ itd. ${\displaystyle W_{2}=\{((a,2),S(S(a))):((a,1),S(a))\in W_{1}\}}$ ${\displaystyle W_{3}=\{((a,3),S(S(S(a)))):((a,2),S(S(a)))\in W_{2}\}}$ ... itd. W ogólności możemy utworzyć formłę indykcyjną (bazującą na poprzednich zbiorach) która dla dowolnej liczby ${\displaystyle b>1}$ na bazie zbioru ${\displaystyle W_{b}}$ (opisującego dodawanie liczby b do każdej liczby naturalnej) utworzy zbiór ${\displaystyle W_{b+1}}$ (opisujący dodawanie ${\displaystyle b+1=S(b)}$ dla każdej liczby naturalnej): ${\displaystyle W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}}$ W ten sposób zbiory ${\displaystyle W_{b}}$ opisują wynik dodawania każdej pary liczb naturalnych, przenoszac wszystkie elementy tych zbiory do jednego zbioru, otrzymamy ostateczny wykres dodawania wszystkich liczb naturalnych, a pełną definicję formalną możemy wówczas zapisać tak ${\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})}$ ${\displaystyle \circ :Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X},\circ (f,g)(x)=f(g(x))}$ ta funkcja jest operatorem składania dwóch funkcji ${\displaystyle f:Y\to Z}$