Funkcja

typ relacji dwuczłonowej używany w matematyce i innych naukach Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Funkcja

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[a]), odwzorowanie[1][2], przekształcenie[3], transformacja[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:

  • dla danych dwóch zbiorów i funkcją nazywano każde przyporządkowanie[b] elementom zbioru po jednym elemencie zbioru [c][5];
  • zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru [6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.
Thumb
Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru przy czym: (1) dwóm różnym elementom w może odpowiadać ten sam element – funkcja nie musi być iniekcją; (2) nie każdy element zbioru musi być wartością funkcji – funkcja nie musi być suriekcją.
Thumb
Przykładem funkcji jest kwadrat liczby: y=x2. Funkcja rzeczywista zdefiniowana tym wzorem ma wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych – jest nim parabola.
Thumb
Wykres części rzeczywistej funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej.

Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów[2]:

  1. jednoznaczność[7]:

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne[8]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych:

Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:

Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach.

Formalna definicja

Funkcja to trójka uporządkowana składająca się z poniższych elementów[10][11][12][13][14][15][16]:

  • dziedziny będącej dowolnym zbiorem,
  • przeciwdziedziny również będącej dowolnym zbiorem,
  • wykresu będącym zbiorem par, takim że

Wyjaśnienie: Wykres to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu z istnieje dokładnie jeden z taki że para znajduje się w zbiorze (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Alternatywne definicje

Definicja nazywana jest również definicją Bourbakiego[10][11] (wprowadzoną w 1954 r.[17]) ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki[18]. Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja staje się zbiorem. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. albo . Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów[12].

Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji Peano redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji tj. (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej. Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Należy zauważyć że między ogólną definicją a zredukowaną istnieją poważne różnice[19]. Powyższa zredukowana definicja oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze[18].

Notacja

Podsumowanie
Perspektywa

Funkcje oznacza się na ogół literami itd. Jeśli funkcja przyporządkowuje elementom zbioru elementy zbioru to pisze się: W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:

  • zbiór nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów[2], ponieważ jego każdy element nazywa się argumentem tej funkcji[2] lub zmienną niezależną;
  • zbiór to przeciwdziedzina tej funkcji lub jej zbiór wartości[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element nazywa się wartością funkcji[2] lub zmienną zależną[20].


Jak widać, w powyższej tradycyjnej notacji rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdziedziny np.

Dana jest funkcja określona wzorem ,

tu najpierw podano dziedzinę (liczby naturane) i przeciwdziedzinę (liczby rzeczywiste), a następnie osobno zdefiniowano wykres (zbiór w formalnej definicji) poprzez formułę pozwalającą wyznaczyć każdy jego element - czyli każdą parę , gdzie , oraz (symbol oznacza przynależność do zbioru).

Dokładniej: poprzez podstawienie danego elementu dziedziny pod formułę otrzymamy element przeciwdziedziny , co pozwoli skonstruować parę bądącą elementem (punktem) wykresu funkcji, np. dla podstawiamy - otrzymaliśmy więc parę , jeśli podobnie ucznimy dla pozostalych elementów dziedziny to znajdziemy wszystkie punktu (elementy) wykresu.

Bardziej formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:

Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji).

Zbiór wszystkich funkcji

Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru oznacza się [2].

Notacja dla funkcji wielu zmiennych

Zgodnie z definicja formalną, każda funkcja może przyjmować dokładnie jeden argument (który jest elementem dziedziny). Jednak dziedzina w szczególności może być zbiorem par albo trójek albo w ogólności n-tek . Funkcje o takiej dziedzinie nazywamy funkcjami wielu zmiennych. Do ich zapisu stosujemy skrót notacyjny polegający na omijaniu nawiasów danej pary, trójki itd. będącej argumentem, podczas podstawiania jej do funkcji. Przykładowo dla argumenu zamiast pisać

zapisujemy skrótowo:

.

Warto wspomanieć, że wynikiem funkcji również jest dokładnie jedna wartość ale może ona być n-tką zawierająca wiele elementów (np. przyjmuje parę a zwraca trójkę liczb).

Więcej informacji Szczegółowe przykłady ...
Zamknij

Indywidualna notacja/nazewnictwo dla wybranych funkcji: działań, funkcjonałów, operatorów

Operacje arytmetyczne na liczbach są funkcjami wielu (zwykle dwóch) zmiennych np. dodawanie liczb naturalnych (do oznaczenia tej funkcji użyto tu znaku "" zamist litery "") z indywidualną notacją w której zamiast pisać piszemy , oraz uwzględniamy szereg specyficznych reguł związanych ze składaniem operacji dodawania z samą sobą i innymi operacjami z uwzględnieniem nawiasów. Przykładowo:

,

notacja (lewa strona powyższych równości) jest intepretowana (prawa strona równości) jako odpowiednie złożenie funkcji oraz właśnie ze względu na uwzględnienie owych reguł.

Więcej informacji Będziemy chcieli zdefiniowac funkcję ...
Zamknij

Funkcje które mogą przyjmować inne funkcje jako argument i zwracać liczbę jako wynik nazywane są funkcjonałami (np. funkcjonał zwracający pole pod wykresem funkcji).

Więcej informacji , , gdzie ...
Zamknij

Funkcje które jako argument przyjmują pewne funkcje i zwracają inne funkcje nazywamy operatorami - operatory transformują/zmieniają daną funkcję (lub kilka funkcji) na inną i często do ich zapisu stosujemy indywidualna odrębną notację (np. transformata Fouriera , operator składania funkcji , operator Nabla dla gradientu itp.)

Więcej informacji , , tutaj funkcja f jako argument bierze pewną funkcję ...
Zamknij

Funkcje różnowartościowe i "na" a wykres

Funkcje używające tej samej formuły do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły (poniżej oznaczono: to liczby rzeczywiste a to liczby rzeczywiste większe od zera):

więc z definicji:
więc z definicji:
więc z definicji:
więc z definicji:

mamy: (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: to suriekcja, to bijekcja, k to iniekcja.


Ogólne przypadki funkcji i nie-funkcji

Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie (dziedzina i przeciwdziedzina to dowolne nie puste zbiory, to niepusty wykres dla i )

Więcej informacji , ...
trójka tradycyjna notacja wyjaśnienie
pusty wykres dzedzina, przeciwdziedzina i wykres są zbiorami pustymi
to nie funkcja jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty (skoro dziedzina jest niepusta więc istnieje a więc zgodnie z definicją w musi istnieć para zawierająca , zatem )
pusty wykres dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
to nie funkcja jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta (skoro więc istnieje jakaś para gdzie , zatem )
to nie funkcja jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
to nie funkcja przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
to nie funkcja jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
dziedzina jest równa przeciwdziedzinie
to nie funkcja (przy założeniu ZF) wykres musiałby być tym samym co dziedzina (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)
to nie funkcja (przy założeniu ZF) wykres musiałby być tym samym co przeciwdziedzina (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)
Zamknij

Obraz i przeciwobraz

  • Zbiór jest obrazem podzbioru zbioru w przekształceniu [5],
  • dla każdego elementu przeciwobrazem elementu (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór jeśli to [5],
  • przeciwobrazem podzbioru nazywamy zbiór jeżeli to [21].

Wykres funkcji

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji nazywa się zbiór Z definicji funkcji wynika, że dla każdego istnieje dokładnie jeden taki że Jeśli jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Jeżeli zakładamy, że funkcja jest suriekcją, to wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli to przy czym jest jedynym takim elementem.

Funkcje liczbowe

Podsumowanie
Perspektywa

Ważną klasą funkcji są funkcje

(zbiór jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych[22].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze można zdefiniować działania arytmetyczne:

  • Dla funkcja przyjmuje dla każdego wartość
  • Dla funkcja przyjmuje dla każdego wartość
  • Dla funkcja przyjmuje dla każdego wartość
  • Dla i funkcja przyjmuje dla każdego wartość
  • Dla i funkcja przyjmuje dla każdego wartość

Funkcja jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia że dla każdego spełniona jest nierówność

Jeśli funkcja liczbowa przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych[22].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

gdzie (jest to funkcja zespolona)
gdzie (jest to funkcja rzeczywista)[23]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

gdzie
gdzie

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

gdzie są współrzędnymi punktu w lub odpowiednio w

Rodzaje funkcji liczbowych

Sposoby określania funkcji

Podsumowanie
Perspektywa

Jeżeli dziedzina jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)[23].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania [23].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

albo w taki:

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane[24].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie[24].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

  • – funkcja liniowa
  • – funkcja kwadratowa
  • – funkcja wielomianowa
  • – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
  • – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi i gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru a druga przyjmuje wartości ze zbioru wtedy nazywa się zmienną niezależną, a zmienną zależną[25][26]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej Na przykład droga w ruchu jednostajnym o prędkości jest zależna od czasu ruchu i wyraża się wzorem:

W praktyce często się zdarza, że zbiór jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych Mówimy wtedy, że zmienna jest funkcją zmiennych Na przykład siła działająca na ciało jest zależna od masy ciała i jego przyspieszenia

Przykłady funkcji

Podsumowanie
Perspektywa

W matematyce

Definicję funkcji spełniają na przykład:

W fizyce

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

W innych dziedzinach

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

Chemia:

Biologia:

Medycyna i fizjologia:

  • BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
  • EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

  • piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
  • opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

Psychologia:

  • wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
  • funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
  • wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Osobny artykuł: złożenie funkcji.
Thumb
Dwie funkcje i Ich złożenie przyjmuje wartości:
@
@

Mając dwie funkcje i można utworzyć funkcję złożoną określoną wzorem

Wielokrotne złożenie funkcji nosi nazwę iteracji. Ściśle: -tą iteracją funkcji nazywa się funkcję

Funkcja odwrotna

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję taką, że którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

Osobny artykuł: Restrykcja funkcji.

Dla funkcji można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru Jest to funkcja taka, że dla każdego Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f[27].

Jeżeli jest funkcją, a jest jej zawężeniem do zbioru to dla dowolnego zbioru mamy

Z drugiej strony, dla można przedłużyć funkcję zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję Można np. wymagać, by przedłużenie funkcji było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny

Podsumowanie
Perspektywa

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań.

Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji[28]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Riemann[29].

Newton używał terminu fluenta[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy[30] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach[31]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”[e][32]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych[33].

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę zapisując argument jeszcze bez nawiasów Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Definicję relacyjną ok roku 1911 zaproponował Giuseppe Peano[2][34]; utożsamia ona funkcję z jej wykresem tj. . Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości[potrzebny przypis].

Współczesna definicja Bourbakiego[10][11] została wprowadzona w 1954 r.[35]. Relacyjna definicja Peano oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze[18].

Zobacz też

Szybkie fakty
Zamknij

Uwagi

  1. Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”.
  2. W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
  3. Tej szerokiej definicji używali m.in. Giuseppe Peano oraz Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski w swojej książce cytowanej poniżej.
  4. Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
  5. ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.