Twierdzenie Pascala

Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise’a Pascala w wieku 16 lat^[1].

Ilustracja przypadku twierdzenia dla okręgu.

Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona^[2] (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

Twierdzenie

Niech dane będzie sześć punktów ${\displaystyle A1,A2,A3,A4,A5,A6}$ leżących na krzywej stożkowej, zaś ${\displaystyle B1,B2,B3}$ oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych ${\displaystyle A1A2}$ oraz ${\displaystyle A4A5,}$ ${\displaystyle A1A6}$ oraz ${\displaystyle A3A4,}$ ${\displaystyle A2A3}$ oraz ${\displaystyle A5A6.}$ Wówczas punkty ${\displaystyle B1,B2,B3}$ są współliniowe.

W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

Uwagi

W ogólności dotyczy ono stożkowych, jednak ponieważ przekształcenia rzutowe zachowują współliniowość punktów, to tezę można sprowadzić do przypadku, gdy krzywa stożkowa jest okręgiem.

Uogólnienia

August Ferdinand Möbius w 1847 roku uogólnił twierdzenie Pascala do postaci:

Niech dane będzie dla wielokąta o ${\displaystyle 4n+2}$ bokach wpisanego w krzywą stożkową ${\displaystyle 2n+1}$ punktów będących przecięciami par przeciwległych boków. Jeżeli ${\displaystyle 2n}$ z tych punktów leży na jednej prostej, to pozostały punkt również leży na tej prostej.