Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.
Niech
będzie algebrą Boole’a.
Definicje
- Powiemy, że zbiór
jest filtrem na algebrze
gdy następujące warunki są spełnione:
- (a)

- (b) jeśli
oraz
(czyli
), to też 
- (c) jeśli
to również 
- Filtr
na algebrze
jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym
jest filtr
(filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze
są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze
jest oznaczany przez 
- Dla
definiuje się 
Obserwacje
- Niech
będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
- (i)
jest ultrafiltrem,
- (ii) dla każdego elementu
albo
lub 
- (iii) dla każdych
jeśli
to
lub 
- Każdy filtr
jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
- Dla dowolnych
mamy, że
oraz 
- Rodzina
jest bazą pewnej topologii
na
Przestrzeń topologiczna
jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2 (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry
).
- Odwzorowanie
jest izomorfizmem pomiędzy algebrą
a ciałem
otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.