Zbiór rozdzielający

Zbiór rozdzielający – zbiór ${\displaystyle S}$ funkcji ${\displaystyle A\to B,}$ w którym dla dowolnych dwóch elementów ${\displaystyle x,y\in A}$ istnieje funkcja ${\displaystyle f\in S}$ spełniająca ${\displaystyle f(x)\neq f(y);}$ mówi się też, że zbiór ${\displaystyle S}$ rozdziela punkty ${\displaystyle B}$^[1].

Ten artykuł dotyczy zbiorów rozdzielających dla funkcji. Zobacz też: zbiór rozdzielający (rozspajający/rozspójniający) w teorii grafów.

Zbiory rozdzielające ułatwiają sformułowanie wariantu twierdzenia Stone’a-Weierstrassa dla funkcji o wartościach rzeczywistych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z topologią zbieżności jednostajnej:

dowolna podalgebra tej przestrzeni funkcyjnej jest gęsta wtedy i tylko tedy, gdy rozdziela punkty.

Tę wersję twierdzenia dowiódł jako pierwszy Marshall Stone^[1].

Przykłady

• Zbiór jednoelementowy składający się z funkcji tożsamościowej liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ rozdziela punkty ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią normalną (tj. T₄ i T₁), to lemat Urysohna mówi, że zbiór ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ funkcji ciągłych na ${\displaystyle X}$ o wartościach rzeczywistych (lub zespolonych) rozdziela punkty ${\displaystyle X.}$