Loading AI tools
Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, para qualquer álgebra de Lie L pode-se construir a álgebra universal envelopante U(L). Esta construção passa da estrutura não associativa L para uma (mais familiar, e possivelmente mais fácil de manipular) álgebra associativa unital, a qual captura as propriedades importantes de L.
Primeiro note-se a construção universal de Lie de uma álgebra de Lie sobre o corpo K a partir de uma qualquer álgebra associativa A sobre K, com a operação:
Isto constrói um Lie Bracket a partir de uma operação associativa, o comutador. Denota-se esta álgebra de Lie por AL.
A construção da álgebra envelopante universal U ( L) tenta reverter este processo: para uma dada álgebra de Lie L sobre K, é possível encontrar a álgebra K associativa unital "mais geral" A= U ( K ) tal que a álgebra de Lie AL contenha L. A condição importante é preservar a teoria da representação: as representações de L correspondem de uma forma "um-para-um" com os módulos sobre U(L). No contexto típico onde L está a atuar por transformações infinitesimais, os elementos de U(L) atuam como operadores diferenciais, para cada uma das ordens.
Após a generalização para as álgebras de Lie, a construção da algebra envelopante tem sido generalizada para álgebras de Macey [1], algebras de Bol [2] e álgebras adjuntas à esquerda[3].
As representações de álgebras de Lie constituem a maior fonte de estudos e aplicações para as álgebras de Lie. Uma representação de uma álgebra com unidade A é [4] um espaço vetorial V e uma aplicação linear que preserva a multiplicação e a identidade da álgebra. Questões naturais sobre representações de álgebras são classificação de representações irredutíveis sobre A, classificação de representações indecomponíveis sobre A ou a classificação de todas as representações irredutíveis em espaços vetoriais de dimensão finita.
As representações da álgebra envelopante universal de uma álgebra A constrói-se de tal forma que as propriedades gerais das representações de A em relação ao produto são preservadas. Por exemplo, para uma representação podemos ter ρ(x)ρ(y) = 0, enquanto que em outras representações tal pode não acontecer.
Aparenta ser verdade que certas propriedades das representações são universais, e a álgebra envelopante absorve todas essas propriedades.
O functor que atribui a cada álgebra X a sua álgebra envelopante universal U(X) é o functior adjunto esquerdo da construção universal de Lie .
Isto quer dizer que a álgebra U(X) diz-se álgebra envelopante universal de X se existe tal que para cada existe tal que , onde f, g, h são homomorfismos de álgebras.
Tal formulação univesal implica que, a existir, a álgebra envelopante universal é única a menos de isomorfismo.
A construção é super simples, tendo em conta que almejamos a propriedade universal. Tal construção vai provar que o functor álgebra envelopante universal existe para as álgebras de Lie.
Tomemos a álgebra de Lie L com uma operação de Lie, e consideremos a álgebra tensorial TL, e o seu ideal I gerado por
Então , com a projeção natural dá origem à estrutura álgébrica pretendida.
Para superálgebras de Lie, a generalização é trivial, pelo que elas também têm uma álgebra envelopante universal.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.