Functor

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor^[1] é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.^[2]

Definição

Dadas categorias C e D, um functor de C até D, escrito F : C → D, consiste

• de uma atribuição, a cada objeto x ∈ C, de um objeto F(x) ∈ D,
• de uma atribuição, a cada morfismo f : x → y, de um morfismo F_{x, y}(f) = F(f) : F(x) → F(y), (equivalentemente, dom(F(f)) = F(dom(f)) e cod(F(f)) = F(cod(f)))

satisfazendo

• F(1_x) = 1_F(x) para cada objeto x ∈ C,
• F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) para cada dupla de morfismos f : x → y e g : y → z.

Chama-se esse F : C → D mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante^{[nota 1][3]} de C até D, atribuindo, a cada morfismo f : x → y, um morfismo G(f) : F(y) → F(x), satisfazendo G(1_x) = 1_G(x) e G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g); os functores contravariantes de C até D estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes C^op → D, em que C^op denota a categoria oposta a C.

Por vezes, em vez de se dizer que F é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição x ↦ F(x) é functorial.^[2][4][5][6]

Exemplos

• Dadas A e B categorias, com objeto b ∈ B, há o functor constante Δ(b) : A → B, com atribuição$${\displaystyle \Delta (b)(x{\xrightarrow {f}}y)=b{\xrightarrow {1_{b}}}b.}$$
• Se Set denota a categoria dos conjuntos pequenos, há Q functor contravariante de Set a Set, com atribuição$${\displaystyle Q(A{\xrightarrow {f}}B)=\operatorname {P} (B){\xrightarrow {S\mapsto f^{\leftarrow }(S)}}\operatorname {P} (A),}$$em que P(A) é o conjunto de partes de A, e f^←(S) é a pré-imagem de S por f.
• Se K-Vet denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo K, há functor contravariante (_)^* de K-Vet de K-Vet, com correspondência$${\displaystyle (U{\xrightarrow {\Lambda }}V)^{*}=V^{*}{\xrightarrow {f\mapsto f\circ \Lambda }}U^{*},}$$em que U^* = hom_K(U, K) denota o espaço dual a U.
• A atribuição de cada espaço com base (X, x) ao correspondente grupo fundamental π₁(X, x) é functorial.^[7][4]

Bifunctor

Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias B × C. Dado bifunctor F : B × C → D e objeto c ∈ C, o functor F(–, c) : B → D é definido por:$${\displaystyle F(-,c)(b{\xrightarrow {f}}b')=F((b,c){\xrightarrow {(f,1_{c})}}(b',c)).}$$De forma análoga, há o functor F(b, –) : C → D.^[8]

Categoria de categorias e functores

Para cada U universo de Grothendieck, há a categoria ${\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Cat}}}$ (ou, brevemente, ${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$) cujos objetos são as categorias que pertencem a U e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.^[9][4]

Um conceito similar é a categoria de functores D^C, cujos objetos são os functores C → D, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.^[10]

Functor hom

Seja ${\displaystyle C}$ uma categoria. Denotando-se por ${\displaystyle {\textsf {Set}}}$ uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor^[11] $${\displaystyle \mathrm {hom} :C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow {\textsf {Set}}}$$ em que ${\displaystyle \mathrm {hom} (X,Y)}$ é o conjunto de morfismos ${\displaystyle X\rightarrow Y}$, e, dados ${\displaystyle f:X'\rightarrow X}$, ${\displaystyle g:Y\rightarrow Y'}$ morfismos em ${\displaystyle C}$, $${\displaystyle \mathrm {hom} (f,g)=g\circ {\text{-}}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm {hom} (X,Y)\rightarrow \mathrm {hom} (X',Y').}$$

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Notas

1. O nome cofunctor é usado, mas não é recomendado.

Referências

1. Português à letra. «Functor ou Funtor». Consultado em 30 de março de 2020
2. (Mac Lane, §I.3, §II.2)
3. Vergura, Marco (setembro de 2015). «Is "cofunctor" an accepted term for contravariant functors? – Math.Stackexchange»
4. (Riehl, §1.3)
5. (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.17)
6. (Aluffi, §VIII.1.1)
7. (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.20)
8. (Mac Lane, §II.3)
9. (Mac Lane, §I.3, §I.6)
10. (Mac Lane, §II.4)
11. (Mac Lane, §II.2, §II.3)