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operação matemática Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Adição é uma das operações básicas da aritmética.[1][2] Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado.[1] Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.
Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.
No conjunto dos números reais a adição possui as seguintes propriedades:
Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.
De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:
O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:
Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:
Podemos substituir de forma similar m por infinito negativo, e
para algum m, desde que ambos os limites existam.
É possível somar menos que 2 números:
Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.
Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.
Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.
A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.
As identidades a seguir são bastante úteis:
|
(ver séries aritméticas); |
|
(ver coeficiente binomial); |
Em geral, a soma das n primeiras potências de m é
onde é o k-ésimo número de Bernoulli.
As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):
para toda constante real c maior que -1; |
para toda constante real c maior que 1; |
para toda constante real c maior ou igual a zero; |
para todas constantes reais não-negativas c e d; |
para todas constantes reais b > 1, c, d. |
Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:
Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.
A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:
ré | ré♯ | mi | fá | fá♯ | sol | sol♯ | |||||
ré | dó♯ | dó | si | lá♯ | lá | sol♯ |
Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).
A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, , é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna , em que todas as díades somam 6.
dó | sol | ré | ré♯ | lá♯ | mi♯ | |||||
si | mi | lá | sol♯ | dó♯ | fá♯ |
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