os números e podem ser interpretados como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja, é a coordenada do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação ) e é o valor mínimo (ou valor máximo, se ) da função quadrática.
Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função é uma parábola cujo vértice está na origem . Portanto, o gráfico da função é uma parábola deslocada para a direita por cujo vértice está em , conforme mostrado na figura de cima. Por outro lado, o gráfico da função é uma parábola deslocada para cima por cujo vértice está em , como mostra a figura central. A combinação dos desvios horizontal e vertical produz é uma parábola deslocada para a direita por e para cima por cujo vértice está em , como mostrado em a figura de baixo.
Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:
O primeiro passo é completar o quadrado:
Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:
Então
e portanto
Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o tem um coeficiente diferente de , o primeiro passo é dividir a equação por esse coeficiente: por exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.
Raízes irracionais e complexas
Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação
Completar o quadrado dá
então
Logo,
Em linguagem terser:
então
Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:
Caso não-mônico
Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de . Por exemplo:
A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.
Integração
O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma
usando as integrais básicas
Por exemplo, considere a integral
Completar o quadrado no denominador fornece:
Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição, que gera
o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque
Como outro exemplo, a expressão
onde , , , e são números reais, com e , podem ser expressos em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir
Assim,
então
Matriz idempotente
Uma matriz é idempotente quando . As matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de e . O método de completamento de quadrado de endereçamento da equação
mostra que algumas matrizes idempotentes são parametrizadas por um círculo no plano :
A matriz será idempotente desde que que, ao completar o quadrado, se torna
No plano , essa é a equação de um círculo com centro e raio .
Considere completar o quadrado para a equação
Como representa a área de um quadrado com o lado de comprimento , e representa a área de um retângulo com os lados e , o processo de preenchimento do quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.
Tentativas simples de combinar os retângulos e em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo Uma variação na técnica adicionado a cada lado da equação de cima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".
Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo, ,
para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio, ou , a
para obter um quadrado.
Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíproco
Ao escrever
mostramos que a soma de um número positivo e seu recíproco é sempre maior ou igual a . O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que fornece o limite declarado; e aqui atingimos justamente quando é , fazendo com que o quadrado desapareça.
Exemplo: fatorando um polinômio quártico simples
Considere o problema de fatorar o polinômio
Isto é
então o termo do meio é . Assim temos
(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).