Elemento inverso
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Elemento inverso, em matemática, é aquele cuja utilização numa operação binária matemática bem definida resulta no elemento neutro específico dessa operação — por essa razão simples a justificar a sua inversibilidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de elemento oposto. Não é o mesmo que o elemento simétrico, como é costume afirmar-se. Por exemplo, o elemento inverso de "a" é "1/a" enquanto que o elemento simétrico de "a" é "-a". Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de oposto.
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Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da ideia de elemento inverso. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.
De modo semelhante ao conceito de elemento neutro — com o qual guarda íntima conexão lógica matemática — trata-se de conceito universal, cuja generalização lógica integra o conjunto de ideias que conduzem ao alcance — ou melhor, projetam o alcance — da extraordinária estrutura de unidade da Matemática. [carece de fontes?]
Em um semigrupo S um elemento x é chamado '(von Neumann) regular' se existe algum elemento z em S tal que xzx ' '=' 'x' '; z é às vezes chamado de 'pseudoinverse' . Um elemento 'y' é chamado (simplesmente) de 'inverso' de x se xyx = x e y = yxy . Cada elemento regular tem pelo menos um inverso: se 'x' x 'xz' então é fácil verificar que y é um inverso de x como definido nesta secção. Outro fácil de provar o fato: se 'y' é um inverso de 'x', então e = xy e f = yx são [[elemento idempotente] | idempotent]] s, isto é ee = e e ff = f . Assim, cada par de elementos (mutuamente) inversos dá origem a dois idempotentes, e ex = xf = x , ye = fy = y e e age como uma identidade de esquerda em 'x' ', enquanto' 'f' 'atua como uma identidade certa, e os papéis de esquerda / direita são invertidos para' y . Essa observação simples pode ser generalizada usando relações de Green: todo idempotente e em um semigrupo arbitrário é uma identidade à esquerda para R e </ sub> e identidade certa para L e </ sub> .[1]