Esquema FTCS

Na análise numérica, o método FTCS(Forward-Time Central-Space) que em português significa progressivo no tempo centrado no espaço, é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações parabólicas em derivadas parciais^[1] similares. É um método de primeira ordem no tempo, explícito no tempo e é condicionalmente estável.

O método

No método FTCS, aproximamos a derivada parcial de primeira ordem no tempo ${\displaystyle u_{t}}$ por uma diferença finita progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço ${\displaystyle u_{xx}}$, por uma diferença finita centrada:

${\displaystyle u_{t}={\frac {\partial u}{\partial t}}(x_{i},t_{n})\approx {\frac {u(x_{i},t_{n}+\Delta t)-u(x_{i},t_{n})}{\Delta t}}={\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}},}$

${\displaystyle u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{i},t_{n})\approx {\frac {u(x_{i}-\Delta x,t_{n})-2u(x_{i},t_{n})+u(x_{i}+\Delta x,t_{n})}{\Delta x^{2}}}={\frac {u_{i-1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}},}$

podemos então substituir as derivadas de u na equação do calor:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

obtendo assim o método FTCS:

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i-1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

ou

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+\alpha {\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}),}$

ou ainda:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}),}$

para i e n finitos, onde r é dado por ${\displaystyle r=\alpha {\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}.}$

Estabilidade

O método FTCS, para equações unidimensionais, é estável se e somente se a seguinte condição for satisfeita:

${\displaystyle r={\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}.}$

Consequentemente, ao usarmos o esquema FTCS, nao podemos escolher ${\displaystyle \Delta x}$ e ${\displaystyle \Delta t}$ independentemente. Pior que isso: como a priori precisamos escolher ${\displaystyle \Delta x}$ relativamente pequeno para obter uma boa aproximacão, segue que ${\displaystyle \Delta t}$ será muito pequeno. Precisaremos percorrer muitos passos temporais (muitas iterações do método) para calcular a solução aproximada em qualquer instante de tempo finito.

Referências

1. John C. Tannehill; Dale A. Anderson; Richard H. Pletcher (1997). Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer 2nd ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 156032046X

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