Evolução de Schramm–Loewner
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Em teoria das probabilidades, a evolução de Schramm-Loewner com parâmetro (ESL), também conhecida como evolução estocástica de Loewner, é uma família de curvas planas aleatórias, tendo sido provado que são o limite escalar de uma variedade de modelos de reticulados bidimensionais em mecânica estatística. Dados um parâmetro e um domínio no plano complexo , tem-se uma família de curvas aleatórias em , com controlando o quanto a curva gira. Há duas variantes principais da evolução de Schramm-Loewner: a evolução cordal, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de dois pontos fixos no limites, e a evolução radial, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de um ponto fixo no limite até um ponto fixo no interior. Estas curvas são definidas a fim de satisfazer à invariância conforme e à propriedade de Markov de um domínio.
Foi descoberta por Oded Schramm como um limite escalar conjeturado dos processos probabilísticos da árvore geradora uniforme (uniform spanning tree ou UST, na sigla em inglês) plana e do passeio aleatório de loop apagado (loop-erased random walk ou LERW, na sigla em inglês).[1] Em seguida, foi desenvolvida por ele junto com Greg Lawler e Wendelin Werner em uma série de artigos em conjunto.
Além da UST e do LERW, é possível conjeturar ou provar que a evolução de Schramm-Loewner descreve o limite escalar de vários processos estocásticos no plano, tal como a percolação crítica, o Modelo Ising crítico, o modelo de dímero-duplo, caminhos autoevitantes e outros modelos críticos da mecânica estatística que exibem invariância conforme. As curvas da ESL são os limites escalares de interfaces e outras curvas aleatórias que não se interseccionam nestes modelos. A ideia principal é de que a invariância conforme e uma certa propriedade de Markov inerente a tais processos estocásticos juntas tornam possível codificar estas curvas planas em um movimento browniano unidimensional que percorre o limite do domínio (a função diretora da equação diferencial de Loewner). Desta forma, muitas questões importantes sobre modelos planos podem ser traduzidas em exercícios em cálculo de Itō. De fato, várias previsões matemáticas não rigorosas feitas por físicos usando a teoria do campo conformal foram provadas com o uso desta estratégia.