Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.[1]
Isto é, uma matriz é ortogonal se
- ;
- Matriz de reflexão em torno do eixo :
- Matriz ortogonalmente diagonalizável
- Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086
- Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445
- Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093
- Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185
Da definição, tem-se que: , então .
Pelo Teorema de Binet, , então .
No entanto, sabe-se também da definição que implica .
Logo, , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se .
Seja uma matriz ortogonal, onde indica a i-ésima coluna de .
Como , temos , donde vemos que:
isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna é um conjunto ortonormal.
Reciprocamente, se as colunas de formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que .
Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
Segue imediatamente da observação de que:
- .
Por hipótese, . Com isso, temos:
- .
Agora, se, e somente se, . Isso completa a demonstração.