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operação matemática que combina dois elementos para produzir um outro elemento Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Na matemática, uma operação binária ou 2-ária é uma operação com dois operandos. Uma operação binária é uma função com duas variáveis de entrada.
Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (Agosto de 2024) |
Dados três conjuntos A, B e C, uma operação binária é uma função do produto cartesiano A×B em C.
Operações binárias diferem, normalmente, da escrita definida em função, f(a,b) = c. Os símbolos utilizados, em sua maioria, são de operador infixo, tomando o caso das operações de adição, multiplicação etc. Denota-se (a + b), não +(a,b).
Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas, sendo parte de grupos, monóides, semi-grupos, anéis, corpos, domínios de integridade, etc.
Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética como adição, divisão e multiplicação (essas operações valem tanto para matemática quanto para programação); predicados lógicos como OR, XOR, AND.
Muitas operações binárias de interesse são comutativas ou associativas. Muitas possuem também um elemento identidade (elemento neutro) e um elemento inversor. Algumas dessas propriedades nos permitem classificar as álgebras em grupos, semi grupos, grupos abelianos, etc.
Seja # uma operação binária em um conjunto S. Dizemos que # é fechada em S se e somente se ∀ a,b ∈ S, (a # b) ∈ S.
Em geral, esta propriedade faz parte da definição de operação binária num conjunto.
A mesma operação # sobre S diz-se comutativa se
Ex. A adição sobre os naturais.
Uma identidade para # sobre S é um elemento e em S para o qual
Ex. 0 é uma identidade para a adição.
Da definição acima é possível afirmar que a identidade para uma operação binária é única. Sejam e, f identidades para #. Então e = e#f = f. Logo e = f. Portanto existe no máximo uma identidade para #.
A operação # sobre S diz-se associativa se e somente se
Uma operação binária $ é dita distributiva sobre # se
e
Ex. A multiplicação é distributiva sobre a adição, mas a recíproca não é verdadeira.
Seja e a identidade para # sobre S. O elemento x-1 é um inverso de x com respeito a # sobre S se
Se y é um inverso de x com respeito a # então y é único (para cada x). Suponha que a, b são ambos inversos de x com respeito a # sobre S. Seja e a identidade para # sobre S. Então:
a = a # e; = a # (x # b); = (a # x) # b; = e # b; = b;
Logo a = b , e portanto existe no máximo um elemento inverso.
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