Programa de Hilbert
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O programa de Hilbert foi uma proposta feita em 1921 pelo matemático alemão David Hilbert de reformular as bases da matemática de forma rigorosa, partindo da aritmética. Segundo ele, toda a matemática poderia ser reduzida a um número finito de axiomas consistentes. Assim, qualquer proposição da matemática poderia ser provada dentro desse sistema (e o sistema seria dito completo).[1]
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O programa de Hilbert foi uma solução proposta para a crise fundamental da matemática, quando as primeiras tentativas de deixar os fundamentos matemáticos mais claros foram consideradas paradoxais e inconsistentes. Hilbert sugeriu basear todas as teorias existentes para um finito, um conjunto completo de axiomas, e então promover uma prova que esses axiomas eram consistentes. Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, tais como análise real, poderiam ser provadas em termos de sistemas mais simples. Por fim, a consistência de toda a matemática poderia ser reduzida a aritmética básica.
Em 1931, o matemático Kurt Gödel provou, através do seu teorema da incompletude, que esta tarefa era impossível. No teorema, Gödel mostra que um sistema axiomático consistente não pode provar sua própria consistência. Assim, ele só pode ser inconsistente. Além disso, em sistemas com o poder de definir os números naturais (como o que Hilbert idealizou), sempre há proposições (chamadas de "indecisíveis") que não podem ser provadas dentro do sistema, portanto, ele é incompleto. Uma vez que o sistema não pode ser simultaneamente completo e consistente, a exigência hilbertiana de completude e consistência não pode ser colocada em prática.
Em outras palavras, a teoria de Gödel refutou a suposição de Hilbert que um sistema finito poderia ser usado para provar a consistência de uma teoria mais complexa.
Gödel deixou em aberto a possibilidade de existir um método geral para determinar se uma dada proposição é decisível. Em 1936, entretanto, o matemático Alan Turing provou que tal método não pode existir.