Sigma-álgebra
estrutura algébrica fechada em relação à união enumerável, interseção e complemento / De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) sobre um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X, incluindo o conjunto vazio, e que é fechada sobre operações contáveis de união, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em X. O conceito é importante em análise e probabilidade.[1] O par (X, Σ) é chamado espaço mensurável.
A σ-álgebra especializa o conceito de conjunto algébrico. Uma álgebra de conjuntos precisa apenas ser fechada sob a união ou interseção de vários subconjuntos finitos.[2]
O uso principal das σ-álgebras é na definição de medidas; especificamente, a coleção daqueles subconjuntos para os quais uma dada medida definida é necessariamente uma σ-álgebra. Este conceito é importante na análise matemática como base para a integração de Lebesgue e, em teoria da probabilidade, onde ela é interpretada como a coleção de eventos que podem ser atribuídos com probabilidades. Também em probabilidade, σ-álgebras são cruciais na definição de esperança condicional.
Em estatística, (sub) σ-álgebras são necessárias para uma definição matemática formal de suficiência estatística[3]; particularmente quando a estatística é uma função ou um processo aleatório e a noção de densidade condicional não é aplicável.
Se X = {a, b, c, d}, uma possível σ-álgebra em X é Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }, onde ∅ é o conjunto vazio. Em geral, uma álgebra finita é sempre uma σ-álgebra.
Se {A1, A2, A3, …} é uma partição contável de X, então a coleção de todas as uniões de conjuntos na partição (incluindo o conjunto vazio) é uma σ-álgebra.
Um exemplo mais útil é o conjunto de subconjuntos da reta real que se forma começando com todos os intervalos abertos e a subsequente adição de todas as uniões e intersecções contáveis e complementos relativos num processo continuo (por indução transfinita através de todos os ordinais contáveis) até que as propriedades de fechamento relevantes são alcançadas (uma construção chama de hierarquia de Borel).