Em matemática, a série harmônica (português brasileiro) ou série harmónica (português europeu) é a série infinita definida como:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe38a32368735f0f4e885a31383ae6f87441f77)
O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).
Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme[1]) faz-se tendo em conta que a série
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\!=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281b9d689542be67b8a15c00a0be79532ca55623)
é termo a termo maior que ou igual à série
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\!=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+{\frac {1}{16}}\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4f15e278f837d9df8c32fe66bf9c1867ab9afa)
![{\displaystyle =\quad \ 1+\ {\frac {1}{2}}\ +\ \quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\ \quad \ \cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7176d47fcd7dc655e4379ae99a98186d33d2c3)
que claramente diverge.