Teoria de Newton-Cartan
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A teoria Newton-Cartan (ou gravitação newtoniana geometrizada) é uma reformulação geométrica, bem como uma generalização, da gravidade newtoniana introduzida pela primeira vez por Élie Cartan[1][2] e Kurt Friedrichs[3] e posteriormente desenvolvida por Dautcourt,[4] Dixon,[5] Dombrowski e Horneffer, Ehlers, Havas,[6] Künzle, Lottermoser, Trautman,[7] e outros. Nesta reformulação, as semelhanças estruturais entre a teoria de Newton e a teoria geral da relatividade de Albert Einstein são facilmente vistos, e foi usado por Cartan e Friedrichs para dar uma formulação rigorosa da maneira pela qual a gravidade newtoniana pode ser vista como um limite específico da relatividade geral, e por Jürgen Ehlers para estender essa correspondência a soluções específicas da relatividade geral.
O interessante do método Newton-Cartan é mostrar como muitos dos conceitos normalmente associados à teoria geral da relatividade, como curvatura do espaço-tempo, ou a visão do movimento em queda livre como uma trajetória geodésica, já estão presentes em potencial na gravitação de Newton. O método NC traz outra roupagem matemática para essa mesma velha teoria, revelando aqueles conceitos.
Já a teoria geral da relatividade introduz a noção de métrica lorentziana, e é esta sua grande diferença em relação à teoria clássica de gravitação.
A representação usual da lei da gravidade de Newton é:
Aplicando sua segunda lei:
,
e usando a constatação experimental de que a massa gravitacional é igual à massa inercial:
O lado direito pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar:
,
onde
A igualdade vetorial pressupõe igualdade para cada um dos componentes x, y e z. Passando além disso todos os termos para o lado esquerdo:
Podemos expressar o tempo como uma função linear de um parâmetro já que tanto a origem como a unidade de medida (ano, hora, minuto segundo) são arbitrárias:
A equação se torna:
Podemos reconhecer aqui a equação da geodésica, onde as únicas conexões não nulas são:
O movimento em queda livre sob a ação de um campo gravitacional, descrito pela lei Newtoniana de gravitação, é reinterpretado como uma trajetória geodésica num espaço-tempo de 4 dimensões.
Pode-se mostrar ainda que o tensor de curvatura, calculado a partir das conexões, não é nulo. Portanto esse espaço tempo é curvo.[8]