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Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I [1] e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.
Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:
Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:
Para cada conjunto existe o conjunto unitário . Para cada conjunto e para cada conjunto existe o par (não ordenado) .
Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares"[2]. Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:
Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de e de usando .
Se a propriedade está definida para todos os elementos de um conjunto , então existe um subconjunto de que contém os elementos de que satisfazem a propriedade . Em termos atuais, dada uma fórmula de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre e os parâmetros :
Para todo conjunto existe um conjunto que tem como elementos todos os subconjuntos de .
Um tal é denominado "conjunto potência de " ou "conjunto das partes de ", usualmente denotado:
Para todo conjunto existe um conjunto tal que todo elemento que pertence a um elemento de é um elemento de .
Esse cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de ":
Ou "união dos elementos de ":
Existe um conjunto que contém o conjunto vazio , e para cada , o conjunto também pertence a . Note que Zermelo usa como o sucessor de na sequência numérica (Zahlenreihe):
A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como .
O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:
Se é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha contido na união de , tal que para cada elemento de , tem um único elemento em comum com . A ideia intuitiva é que o conjunto "escolhe" um elemento de cada em :
O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula ≠ que não é satisfeita por nenhum elemento.
Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que ≠ para a existência do par , então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de . A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa[12], resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.
Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha[13].
A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.
Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo[14].
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