Algoritmo de Chudnovsky

O algoritmo Chudnovsky, descoberto pelos matemáticos ucranianos David e Gregory Chudnovsky,^[1] é o mais utilizado para cálculos de alta precisão dos algarismos de π.^[2] Baseia-se em uma fórmula de Ramanujan e implementa uma série de convergência rápida após uma função hipergeométrica.^[3][4][5][6]

O algoritmo baseia-se no negado número de Heegner^[7][8][9] ${\displaystyle d=-163}$, a j-função ${\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}}$ e com a seguinte rápida série convergente hipergeométrica generalizada^{[10][11][12][13][14]}

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!}$

Note-se que ${\displaystyle 545140134=163}$ × ${\displaystyle 3344418}$ e,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=640320^{3}+743{,}9999999999992500725\ldots \\e^{{\frac {\pi }{3}}{\sqrt {163}}}&=640320{,}00000000060486373\ldots \end{aligned}}}$

Essa identidade é semelhante a algumas das fórmulas de Ramanujan envolvendo π, e é um exemplo de uma série de Ramanujan-Sato.

Referências

1. Chudnovsky, David V.; Chudnovsky, Gregory V. (1989), «The Computation of Classical Constants», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, ISSN 0027-8424, 86 (21): 8178–8182, JSTOR 34831, PMC 298242, PMID 16594075, doi:10.1073/pnas.86.21.8178.
2. Utilizando el algoritmo Chudnovsky y Visual Basic para calcular los catorce primeros dígitos decimales de Pi sin despeinarse (y otros chismes y cotilleos varios) publicado por "TeknoPlof"
3. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hypergeometric function», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
4. John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, MSc Thesis)
5. Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" Arquivado em 29 de janeiro de 2006, no Wayback Machine. (gratuitamente descarregáveis)
6. Weisstein, Eric W. «Hypergeometric Function». MathWorld (em inglês)
7. Weisstein, Eric W. «Heegner Number». MathWorld (em inglês)
8. Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
9. Clark, Alex. «163 and Ramanujan Constant». Numberphile. Brady Haran. Consultado em 17 de maio de 2016. Arquivado do original em 16 de maio de 2013
10. Weisstein, Eric W. «Generalized Hypergeometric Function». MathWorld (em inglês)
11. Weisstein, Eric W. «Hypergeometric Function». MathWorld (em inglês)
12. Weisstein, Eric W. «Confluent Hypergeometric Function of the First Kind». MathWorld (em inglês)
13. Weisstein, Eric W. «Confluent Hypergeometric Limit Function». MathWorld (em inglês)
14. Baruah, Nayandeep Deka; Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (2009), «Ramanujan's series for 1/π: a survey», American Mathematical Monthly, 116 (7): 567–587, JSTOR 40391165, MR 2549375, doi:10.4169/193009709X458555.

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