Base ortogonal

Em matemática, na teoria da álgebra linear, uma base ortogonal para um espaço vetorial com produto interno V é uma base para V cujos vetores são mutuamente ortogonais. Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados, a base resultante é uma base ortonormal.

Como coordenadas

Qualquer base ortogonal pode ser usada para definir um sistema de coordenadas ortogonais V. Bases ortogonais (não necessariamente ortonormais) são importantes devido à sua ocorrência a partir de coordenadas ortogonais curvilíneas nos espaços euclidianos, bem como nas variedades riemannianas e pseudoriemanniana.

Em análise funcional

Em análise funcional, uma base ortonormal é qualquer base obtida a partir de uma base ortonormal (ou base de Hilbert) por meio da multiplicação por escalares não nulos.

Extensões

O conceito de base ortogonal (mas não ortonormal) aplica-se a um espaço vetorial V (sobre qualquer corpo) equipado com uma forma bilinear simétrica ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,}$ em que a ortogonalidade dos vetores v e w significa ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0.}$ Para uma base ortogonal {e_k} : $${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k}\rangle =\left\{{\begin{array}{ll}q(\mathbf {e} _{k})&j=k\\0&j\neq k\end{array}}\right.\quad ,}$$ em que q é uma forma quadrática associada a ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :} ${\displaystyle q(v)=\langle \cdot ,\cdot \rangle }$ (em um espaço com produto interno ${\displaystyle q(v)=|v|^{2}}$). Assim, $${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\sum \limits _{k}q(\mathbf {e} _{k})v^{k}w^{k}\ ,}$$ em que v^k e w^k são componentes de v e w em {e_k} .

Ver também

• Base ortonormal
• Base (álgebra linear)
• Subespaço vetorial
• Corpo (matemática)
• Teorema da base de Hilbert
• Espaço vetorial
• Espaço de Hilbert
• Forma bilinear simétrica