Base ortonormal

Em álgebra linear, uma base ${\displaystyle \gamma }$ composta pelos vetores ${\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...}$ de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários.^[1][2][3] Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,

${\displaystyle {\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {u_{j}}}=0}$

${\displaystyle \forall i\neq j}$.

Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,

${\displaystyle |{\vec {u_{i}}}|=1}$ para ${\displaystyle i=1,2,3,...}$.

Essas duas definições podem ser condensadas assim:

${\displaystyle {\vec {u_{i}}}\cdot {\vec {v_{j}}}=\delta _{ij}}$, onde ${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}0&i\neq j\\1&i=j\end{array}}\right.\quad }$

Normalização

Para transformar uma base ortogonal ${\displaystyle \gamma }$ qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por ${\displaystyle {\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}},{\vec {u_{3}}},...}$, pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização^[2]. Em outras palavras:

${\displaystyle {{\hat {u}}_{i}}={\frac {{\vec {u}}_{i}}{|{\vec {u}}_{i}|}}}$ para ${\displaystyle i=1,2,3,...}$

em que ${\displaystyle {\hat {u}}}$ indica que este é um vetor unitário. A nova base ${\displaystyle \beta }$ composta por ${\displaystyle {\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}},...}$ será então uma base ortonormal.

Exemplo 1

Dada a base ortogonal ${\displaystyle \alpha }$ composta pelos vetores ${\displaystyle ({\sqrt {7}},0,0),(0,1,0)}$ e ${\displaystyle (0,0,-13)}$, determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial.

Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo:

${\displaystyle {\hat {v}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {({\sqrt {7}})^{2}}}}({\sqrt {7}},0,0)=(1,0,0)}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {1^{2}}}}(0,1,0)=(0,1,0)}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {(-13)^{2}}}}(0,0,-13)=(0,0,1)}$

Os vetores ${\displaystyle (1,0,0),(0,1,0)}$ e ${\displaystyle (0,0,1)}$ formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Exemplo 2

Dado o conjunto formado pelos vetores ${\displaystyle (0,0,0,1,0,1)}$ e ${\displaystyle (-1,1,1,2,0,-2)}$, encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço.

Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários:

${\displaystyle {\hat {u}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {1^{2}+1^{2}}}}(0,0,0,1,0,1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)}$

${\displaystyle {\hat {u}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}}(-1,1,1,2,0,-2)={\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)}$

Logo, ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(0,0,0,1,0,1)}$ e ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {11}}}(-1,1,1,2,0,-2)}$ compõem uma base ortonormal.

Ver também

• Base ortogonal
• Matriz normal
• Processo de Gram-Schmidt
• Vetor unitário

Referências

1. Espaços Euclidianos
2. Curso de Álgebra Linear - Fundamentos e Aplicações, p.139, p.140
3. http://www.mat.puc-rio.br/cursos/MAT1200/roteiros/aula22091.pdf