Conjunto imagem

Em matemática, o conjunto imagem ou campo de valores de uma função ${\displaystyle f:X\to Y}$ é o conjunto de todos os elementos de Y que são imagem de algum elemento de X.^[1] Costuma ser representado por ${\displaystyle \operatorname {I} (f)}$ ou ${\displaystyle \operatorname {Im} (f).}$ Por definição, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio: ${\displaystyle \operatorname {I} (f)\subseteq Y.}$

A imagem do conjunto X é o conjunto {A,B,D} que é subconjunto de Y.

Função sobrejetora: Neste caso, a imagem do conjunto X é o conjunto Y, porque todos seus valores estão associados a algum elemento do conjunto X.

A imagem de um dado elemento ${\displaystyle x}$ do domínio é o único ${\displaystyle y}$ do contradomínio associado a ele pela função ${\displaystyle f.}$ É representada por ${\displaystyle f(x).}$ Portanto, temos:$${\displaystyle \operatorname {I} (f)=\{\,y\in Y\,|\,y=f(x){\text{ para algum }}x\in X\,\}.}$$Uma função ${\displaystyle f:X\to Y}$, cujo contradomínio é dado por Y e ${\displaystyle \operatorname {I} {(f)}=Y}$, isto é, quando o conjunto imagem tem os mesmos elementos do contradomínio, é chamada de sobrejetora. Uma função ${\displaystyle f:X\to Y}$, cujo contradomínio é dado por Y e ${\displaystyle \operatorname {I} {(f(x_{1}))}\neq \operatorname {I} {(f(x_{2}))}\implies x_{1}\neq x_{2}}$, isto é, quando a imagem de ${\displaystyle x_{1}}$ é diferente da imagem de ${\displaystyle x_{2}}$ e que ${\displaystyle x_{1}}$ é diferente de ${\displaystyle x_{2}}$, é chamada de injetora. Se uma função é injetora e ${\displaystyle \operatorname {I} {(f(x_{1}))}=\operatorname {I} {(f(x_{2}))}}$, então ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$. É bijetora, isto é, sobrejetora e injetora, uma vez que ${\displaystyle \operatorname {I} {(f)}=\{\ y\in Y\ |\ \exists !x\in X,f(x)=y\}=Y}$.

Exemplo

Seja a função ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$ definida por ${\displaystyle g(x)=x^{2}.}$ A imagem de 2 pela função ${\displaystyle g}$ é ${\displaystyle g(2)=2^{2}=4.}$ De maneira análoga, diz-se que as imagens de 6, -6 e 7 pela função ${\displaystyle g}$ são 36, 36 e 49, respectivamente, o que pode ser representado matematicamente por ${\displaystyle g(6)=36,}$ ${\displaystyle g(-6)=36}$ e ${\displaystyle g(7)=49.}$ O conjunto imagem de ${\displaystyle g}$ é o conjunto de todos os valores assumidos por ${\displaystyle g(x),}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Portanto, ${\displaystyle I(g)=\mathbb {R} _{+}.}$