Constante de Brun

Em teoria dos números, o Teorema de Brun, provado por Viggo Brun em 1919,^[1] afirma que a soma dos inversos dos pares de números primos gémeos:

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

A convergência para a constante de Brun

é convergente. O valor dessa soma é a chamada constante de Brun e vale aproximadamente 1.902160583104. ^[2] Enquanto este valor é uma estimativa, está estabelecido que ${\displaystyle 1.840503<B_{2}<2.288490}$.^[3]

Este resultado contrasta com a série dos inversos dos primos:

${\displaystyle B_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}+\cdots =\infty }$

que é divergente.^[4]

Referências

1. Brun, Viggo (1919). «La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie». Bulletin des Sciences Mathématiques (em francês). 43: 100–104, 124–128
2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. «Introduction to twin primes and Brun's constant computation». CiteSeerX 10.1.1.464.1118
3. Platt, D., Trudgian, T. (2020). «Improved Bounds on Brun's Constant». From Analysis to Visualization. JBCC 2017. [S.l.]: Springer. pp. 395–406. doi:10.1007/978-3-030-36568-4_25 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
4. Euler, Leonhard (1737). «Variae observationes circa series infinitas». Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (em latim). 9: 160–188

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