Desigualdade de Bernoulli

Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que o polinômio real ${\displaystyle 1+x}$, elevado ao número inteiro não negativo ${\displaystyle n}$, é maior ou igual à soma de ${\displaystyle 1}$ com o produto de ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle x}$, quando ${\displaystyle x}$ é maior que ${\displaystyle -1}$ ^[1][2] . Essa desigualdade pode ser utilizada em problemas relacionados à análise combinatória ^[3].

Enunciados

A desigualdade de Bernoulli afirma que:

${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx\,}$, sempre que ${\displaystyle x>-1}$ e ${\displaystyle n}$ é um número inteiro não negativo^[2].

Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que ${\displaystyle n}$ é um real maior ou igual a ${\displaystyle 1}$.^{[nota 1]}

Demonstração

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue^[2]. Certamente

${\displaystyle (1+x)^{0}=1\geq 1=1+0x}$.

Multiplicando-se ambos os lados da hipótese de indução

${\displaystyle P(n):(1+x)^{n}\geq 1+nx}$

por ${\displaystyle (1+x)}$ (que é um termo positivo uma vez que ${\displaystyle x>-1}$) obtém-se

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^{2}}$.

O termo ${\displaystyle nx^{2}}$ é positivo e, portanto,

${\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x}$.

Assim, como ${\displaystyle P(n)\Rightarrow P(n+1)}$, o resultado vale para todo inteiro ${\displaystyle n\geq 0}$.

Demonstração do caso geral

Considere ${\displaystyle r}$ um número real maior ou igual a ${\displaystyle 1}$ e defina a função auxiliar ${\displaystyle f(x)}$ por

${\displaystyle f(x):=(1+x)^{r}-(1+rx)}$,

de modo que basta mostrar que ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ quando ${\displaystyle x>-1}$.

Tomando a derivada em ${\displaystyle x}$, tem-se

${\displaystyle f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r\,}$,

ou seja,

${\displaystyle f'(x)=\left\{{\begin{array}{rl}<0,&-1<x<0\\=0,&x=0\\>0,&x>0\end{array}}\right.}$,

o que mostra que ${\displaystyle f}$ é crescente para ${\displaystyle x>0}$ e decrescente no intervalo ${\displaystyle (-1,0)}$^[4] . Portanto, ${\displaystyle f(x)}$ admite um mínimo global no ponto ${\displaystyle x=0}$, onde é nula. Assim concluí-se que

${\displaystyle f(x)\geq 0,x>-1}$,

o que completa a demonstração.

Notas

1. No caso em que ${\displaystyle n}$ é um número real qualquer e ${\displaystyle x}$ é um número real maior ou igual a ${\displaystyle -1}$, tem-se o seguinte resultado: se ${\displaystyle 0<n<1}$, então ${\displaystyle (1+x)^{n}\leq 1+nx\ }$; mas, se ${\displaystyle n<0}$ ou ${\displaystyle n>1}$ então ${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx\ }$^[3].

Referências

1. LIMA, LIMA, Elon Lages (2004). Análise Real. [S.l.]: Impa
2. Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680
3. Silva, Pedro Costa da (2019). As desigualdades elementares e suas aplicações (PDF) (Tese). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Consultado em 5 de novembro de 2019
4. Stewart, James (2009). Cálculo: volume 1. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522106608

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