Espaço completo

Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

Exemplos

• O conjuntos dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ com a métrica usual ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ é completo.
• Qualquer subconjunto fechado de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, ${\displaystyle {\bar {E}}\,}$, com as seguintes propriedades:

• A inclusão i: E → ${\displaystyle {\bar {E}}\,}$, i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
• E é denso em ${\displaystyle {\bar {E}}\,}$.
• ${\displaystyle {\bar {E}}\,}$ é um espaço completo.

Pode-se mostrar que ${\displaystyle {\bar {E}}\,}$ é único, no seguinte sentido:

• Se ${\displaystyle {\bar {E_{1}}}{\mbox{ e }}{\bar {E_{2}}}\,}$ são espaços métricos completos, ${\displaystyle i_{k}:E\rightarrow {\bar {E_{k}}}\,}$ são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então ${\displaystyle {\bar {E_{1}}}{\mbox{ e }}{\bar {E_{2}}}\,}$ são isométricos.

Esboço da construção

A construção de ${\displaystyle {\bar {E}}\,}$ é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.

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