Teorema de Herão

 Nota: Para cálculo da área de um triângulo, veja cálculo de uma raiz quadrada.

Na geometria, a fórmula de Heron (ou fórmula de Hero) fornece a área de um triângulo em termos dos comprimentos dos seus três lados ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$. Definindo ${\displaystyle s}$ como o semiperímetro do triângulo, dado por ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$, a área ${\displaystyle A}$ é calculada por:^[1]

Um triângulo com lados a, b e c

$${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$$

A fórmula recebe o nome do engenheiro do século I, Heron de Alexandria (ou Hero), que a demonstrou em sua obra Metrica, embora provavelmente fosse conhecida séculos antes.

Exemplo

Considere o triângulo ${\displaystyle \triangle ABC}$ com lados ${\displaystyle a=4}$, ${\displaystyle b=13}$ e ${\displaystyle c=15}$. O semiperímetro é:

$${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)={\frac {1}{2}}(4+13+15)=16.}$$

Assim, ${\displaystyle s-a=12}$, ${\displaystyle s-b=3}$ e ${\displaystyle s-c=1}$. A área é dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\[3mu]&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}\\[3mu]&=24.\end{aligned}}}$$

Neste exemplo, os lados e a área são inteiros, caracterizando um triângulo heroniano. No entanto, a fórmula de Heron funciona igualmente para lados que são reais, desde que obedeçam à desigualdade triangular estrita, definindo um triângulo no plano euclidiano com área positiva.

Expressões Alternativas

A fórmula de Heron pode ser expressa diretamente em termos dos lados, sem usar o semiperímetro, de várias formas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Após expansão, a expressão sob a raiz é um polinômio quadrático dos quadrados dos lados ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ e ${\displaystyle c^{2}}$.

A mesma relação pode ser expressa usando o determinante de Cayley-Menger:^[2]

$${\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}$$

História

A fórmula é atribuída a Heron de Alexandria (fl. 60 d.C.), que a demonstrou em Metrica.^[3] O historiador matemático Thomas Heath sugeriu que Arquimedes a conhecia dois séculos antes.^[4] Como Metrica é uma coletânea do conhecimento matemático da antiguidade, a fórmula pode ser ainda mais antiga.^[5]

Uma fórmula equivalente foi descoberta pelo matemático chinês Qin Jiushao, publicada em Tratado Matemático em Nove Seções (1247):^[6]

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}.}$$

Provas

Existem várias maneiras de demonstrar a fórmula de Heron, como usando trigonometria, o incentro e uma excircunferência, o teorema de De Gua (para triângulos agudos) ou como caso especial da fórmula de Brahmagupta (quadrilátero cíclico degenerado).

Prova trigonométrica com a lei dos cossenos

Uma prova moderna, usando álgebra, segue:^[7] Sejam ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ os lados e ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ os ângulos opostos. Pela lei dos cossenos:

$${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

Segue que:

$${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$$

A altura sobre a base ${\displaystyle a}$ é ${\displaystyle b\sin \gamma }$, e a área é:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\text{base}})({\text{altura}})\\[6mu]&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$$

Prova algébrica com o teorema de Pitágoras

Triângulo com altura ${\displaystyle h}$ dividindo a base ${\displaystyle c}$ em ${\displaystyle d+(c-d)}$

Por teorema de Pitágoras, ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ e ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$. Subtraindo, obtém-se ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}$, donde:

$${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$$

A altura é ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}}$. Substituindo ${\displaystyle d}$ e usando a identidade da diferença de quadrados:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[6mu]&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\[6mu]&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$$

A área é:

$${\displaystyle A={\frac {ch}{2}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$$

Estabilidade Numérica

A fórmula de Heron, como apresentada, é numericamente instável para triângulos com ângulos muito pequenos em aritmética de ponto flutuante. Uma alternativa estável, ordenando ${\displaystyle a\geq b\geq c}$, é:^[8]

$${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.}$$

Generalizações

A fórmula de Heron é um caso especial da fórmula de Brahmagupta para quadrilátero cíclico, obtida ao zerar um lado. Para um quadrilátero cíclico de lados ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ e semiperímetro ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}$:

$${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.}$$

Ambas são casos especiais da fórmula de Bretschneider para quadriláteros gerais.

Ver Também

• Fórmula da área de um paralelogramo
• Fórmula de Brahmagupta

Referências

1. Kendig, Keith (2000). «Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?» 5 ed. The American Mathematical Monthly. 107: 402–415. JSTOR 2695295. MR 1763392. doi:10.1080/00029890.2000.12005213. Consultado em 27 de dezembro de 2021
2. Havel, Timothy F. (1991). «Some examples of the use of distances as coordinates for Euclidean geometry» 5–6 ed. Journal of Symbolic Computation. 11: 579–593. doi:10.1016/S0747-7171(08)80120-4
3. Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). «A medieval proof of Heron's formula» 7 ed. The Mathematics Teacher. 62: 585–587. JSTOR 27958225. MR 256819. doi:10.5951/MT.62.7.0585
4. Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics. II. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 321–323
5. Weisstein, Eric W. «Fórmula de Heron». MathWorld (em inglês)
6. 秦, 九韶 (1773). «卷三上, 三斜求积». 數學九章 (四庫全書本) (em chinês). [S.l.: s.n.]
7. Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. [S.l.]: The Mathematical Association of America. pp. 7–8
8. Sterbenz, Pat H. (1974). Floating-Point Computation. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3