Fecho

Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição

O fecho de um conjunto ${\displaystyle X}$, denotado por ${\displaystyle {\overline {X}}}$, é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.^[1]

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.^[2]

Propriedades

• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X (${\displaystyle {\overline {X}}}$) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e ${\displaystyle X'}$ (=conjunto dos pontos aderentes): ${\displaystyle {\overline {X}}=X\cup X'}$ ^[3]. Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto ${\displaystyle X=\left(0,3\right)}$, então seu fecho será o conjunto fechado ${\displaystyle {\overline {X}}=X\cup X'=\left[0,3\right]}$^[4].

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos

• O fecho do conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais é a reta ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Também o fecho do conjunto ${\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )}$ dos números irracionais é ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )}$ não são conjuntos fechados.^[5]
• O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.^[2]

Referências

1. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 170.
2. Lima 1981, p. 39.
3. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 177.
4. Alves, Marcos (2008). «O Conjunto de Cantor» (PDF). Universidade Federal de Santa Catarina. Consultado em 24 de fevereiro de 2020
5. LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. Rio de Janeiro, 11ª edição, 2004. Página 171.