Função linear

 Nota: Para o uso do termo em cálculo, veja Função linear (cálculo).

Na matemática, o termo função linear se refere a duas noções distintas, mas relacionadas:^[1]

• No cálculo e em áreas afins, uma função linear é uma função cujo gráfico é uma linha reta, ou seja, uma função polinomial de grau zero ou um.^[2] Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo função afim é frequentemente usado.^[3]
• Na álgebra linear, na análise matemática^[4] e na análise funcional, uma função linear é um mapa linear.^[5]

Como uma função polinomial

Ver artigo principal: Função linear (cálculo)

Gráficos de duas funções lineares.

No cálculo, na geometria analítica e em áreas afins, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio zero (este último não sendo considerado como tendo grau zero).

Quando a função é de apenas uma variável, ela é da forma

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

e é chamada de função do 1° grau, onde a e b são constantes, frequentemente números reais. O gráfico de tal função de uma variável é uma linha não vertical. a é frequentemente referido como a inclinação da linha e b como a interceptação.

Quando a função tem ${\displaystyle b=0}$, ela é da forma ${\displaystyle f(x)=ax}$ e é chamada de função linear. Ou seja, a função linear é um caso particular de uma função polinomial do 1° grau.^[6]

Se a > 0, então o gradiente é positivo e o gráfico se inclina para cima.

Se a < 0, então o gradiente é negativo e o gráfico se inclina para baixo.

Para uma função ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$ de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k}}$

e o gráfico é um hiperplano de dimensão k.

Uma função constante também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio zero. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma linha horizontal.

Nesse contexto, uma função que também é um mapa linear (o outro significado) pode ser chamada de função linear homogênea ou forma linear. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são os mapas afins de valor escalar.

Como um mapa linear

Ver artigo principal: Mapa linear

A integral de uma função é um mapa linear do espaço vetorial de funções integráveis para os números reais.

Na álgebra linear, uma função linear é um mapa f entre dois espaços vetoriais tal que

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} )}$

Aqui a denota uma constante pertencente a algum campo K de escalares (por exemplo, os números reais) e x e y são elementos de um espaço vetorial, que pode ser o próprio K.

Em outros termos, a função linear preserva a adição vetorial e a multiplicação escalar.

Alguns autores usam "função linear" apenas para mapas lineares que assumem valores no campo escalar;^[7] estes são mais comumente chamados de formas lineares.

As "funções lineares" do cálculo se qualificam como "mapas lineares" quando (e somente quando) f(0, ..., 0) = 0, ou, equivalentemente, quando a constante b é igual a zero no polinômio de um grau acima. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.

Ver também

• Aproximação linear
• Função homogênea
• Função linear em partes
• Interpolação linear
• Sistema não linear

Referências

1. "The term linear function means a linear form in some textbooks and an affine function in others." Vaserstein (2006), p. 50–51
2. Stewart (2012), p. 23
3. A. Kurosh (1975). Higher algebra (em inglês). [S.l.]: Mir publishers. p. 214
4. T. M. Apostol (1981). Mathematical analysis (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. p. 345
5. Shores (2007), p. 71
6. «Função linear: o que é, fórmula, exemplos, exercícios». Brasil Escola. Consultado em 30 de junho de 2025
7. Gelfand (1961)

Bibliografia

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear algebra (em inglês), Interscience publishers, Inc., New York. Reimpresso por Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• Shores, Thomas S. (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Col: Undergraduate Texts in Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-33195-9
• Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals (em inglês) 7E ed. [S.l.]: Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear programming" (em inglês), em Leslie Hogben, ed., Handbook of linear algebra (em inglês), Discrete mathematics and its applications (em inglês), Chapman and Hall/CRC, capítulo 50. ISBN 1-584-88510-6