Functor representável

Em teoria das categorias, dada categoria ${\displaystyle C}$, uma representação para um functor ${\displaystyle F:C\to {\mathsf {Set}}}$ é um objeto ${\displaystyle c\in C}$ junto a um isomorfismo natural $${\displaystyle \hom _{C}(c,-)\cong F,}$$ em que ${\displaystyle \hom _{C}}$ denota o functor hom. Um functor representável é um functor ${\displaystyle F:C\to {\mathsf {Set}}}$ admitindo representação.^[1]

Elementos universais

Um elemento universal de um functor ${\displaystyle F:C\to {\mathsf {Set}}}$ é um objeto ${\displaystyle c\in C}$, junto a um elemento ${\displaystyle x\in F(c)}$, tais que, para cada ${\displaystyle d\in C,\,y\in F(d)}$, há único morfismo ${\displaystyle f:c\to d}$ em ${\displaystyle C}$ com ${\displaystyle F(f)(x)=y}$.^[2] Noutras palavras, um elemento universal é um objeto inicial na categoria de elementos de ${\displaystyle F}$.

Representações do functor ${\displaystyle F}$ correspondem biunivocamente a elementos universais de ${\displaystyle F}$. Com efeito, se ${\displaystyle \psi$ :\hom _{C}(c,-)\cong F} , tem-se que ${\displaystyle c\in C,\,\psi _{c}(1_{c})\in F(c)}$ é um elemento universal; se ${\displaystyle c\in C,\,x\in F(c)}$ é elemento universal, $${\displaystyle \psi _{d}=(f:c\to d)\mapsto F(f)(x)\$$ :\ \hom _{C}(c,d)\cong F(d)} é uma representação; e essas correspondências são inversas uma a outra.^[3]

Setas universais

Sejam ${\displaystyle a}$ objeto de um categoria ${\displaystyle D}$ e functor ${\displaystyle S:C\to D}$. Uma seta universal ${\displaystyle u:a\to S(c)}$ de ${\displaystyle a}$ ao functor ${\displaystyle S}$ é um elemento universal ${\displaystyle c\in C,\,u\in \hom _{D}(a,S(c))}$ do functor ${\displaystyle \hom _{D}(a,S(-)):C\to {\mathsf {Set}}}$; noutras palavras, para cada ${\displaystyle c'\in C}$ e seta ${\displaystyle u':a\to S(c')}$, há único ${\displaystyle f:c\to c'}$ tal que ${\displaystyle u'=S(f)\circ u}$: $${\displaystyle {\begin{matrix}a&{\xrightarrow {u}}&S(c)\\&\searrow &\downarrow &\scriptstyle {S(f)}\\\scriptstyle {u'}&&S(c')\end{matrix}}}$$

Dualmente, uma seta universal ${\displaystyle u:S(c)\to a}$ do functor ${\displaystyle S}$ até ${\displaystyle a}$ é um elemento universal ${\displaystyle c\in C,u\in \hom _{D}(S(c),a)}$ do functor ${\displaystyle \hom _{D}(S(-),a):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}$.^[4]

Referências

1. (Riehl, §2.1)
2. (Mac Lane, §III.1, pág. 57)
3. (Mac Lane, §III.2, prop. 2)
4. (Mac Lane, §III.1, págs. 55, 58)

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
• MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8

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