Interseção

Em teoria dos conjuntos, a interseção ^(pt-BR) ou intersecção ^(pt) (AO 1990: interseção^[1] ou intersecção),^[2] é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por ∩.

Representação gráfica da interseção entre dois conjuntos

Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então interseção do conjunto A com o conjunto B será igual a {2,4} .

Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se ${\displaystyle A\cap B}$ por:

$${\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\}}$$

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula ${\displaystyle \Phi =x\in w_{1}:}$

$${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\exists y\forall x(x\in y\iff (x\in z\land x\in w_{1}))}$$

Esse axioma garante a existência da interseção (${\displaystyle y=z\cap w_{1}}$); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único.

Em outras palavras, provou-se que

$${\displaystyle \forall A\forall B\exists$$ !(A\cap B)\forall x(x\in (A\cap B)\iff (x\in A\land x\in B))}

Propriedades

Considerando-se que ${\displaystyle (x\in A\land x\in B)\iff (x\in B\land x\in A)}$ e que ${\displaystyle ((x\in A\land x\in B)\land x\in C)\iff (x\in A\land (x\in B\land x\in C)),}$ prova-se que:

$${\displaystyle \forall A\forall B(A\cap B=B\cap A)}$$

$${\displaystyle \forall A\forall B\forall C((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C))}$$

Como o conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$ tem a propriedade que ${\displaystyle \forall x(x\notin \varnothing ),}$ temos que:

$${\displaystyle \forall A(A\cap \varnothing =\varnothing )}$$

Deve-se tomar cuidado ao dizer que ${\displaystyle \cap }$ é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.

Interseções arbitrárias

Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M:

$${\displaystyle \bigcap _{X\in M}X.}$$

como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M:

$${\displaystyle x\in \bigcap _{X\in M}X\iff (\forall Y\in M\implies x\in Y)}$$

O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união:

$${\displaystyle \bigcap _{X\in M}X=\{x\in \bigcup _{X\in M}X|(\forall Y\in M\implies x\in Y)\}}$$

Referências

1. ILTEC. «interseção (nome)». Portal da Língua Portuguesa. Consultado em 24 de Fevereiro de 2011
2. ILTEC. «intersecção (nome)». Portal da Língua Portuguesa. Consultado em 24 de Fevereiro de 2011