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John Forbes Nash

matemático norte-americano Da Wikipédia, a enciclopédia livre

John Forbes Nash
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John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 13 de junho de 1928 – Nova Jérsei, 23 de maio de 2015), foi um matemático norte-americano que trabalhou com teoria dos jogos, geometria diferencial e equações diferenciais parciais, servindo como Matemático Sénior de Investigação na Universidade de Princeton. Compartilhou o Prêmio de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel de 1994 com Reinhard Selten e John Harsanyi.

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Nash também foi conhecido por ter tido sua vida retratada no filme Uma Mente Brilhante, vencedor de quatro Óscares (indicado para oito), baseado no livro-biográfico homônimo, que apresentou seu gênio para a matemática e sua luta contra a esquizofrenia.

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Biografia

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Primeiros anos e formação acadêmica

John Nash nasceu no estado da Virgínia Ocidental e foi batizado na Igreja Episcopal dos Estados Unidos.[1] Seus pais foram o engenheiro eletricista John Forbes Nash e a professora de inglês e latim Virginia Margaret Martin. Em 16 de novembro de 1930, sua irmã Martha Nash nasceu.[2]

Aos doze anos, começou a realizar algumas experiências científicas em seu quarto; nessa época, era bastante evidente seu gosto pela solidão, pois preferia fazer as coisas sozinho a estar em contato e trabalhar em grupo. Ele relacionou a rejeição social de seus colegas com piadas e superioridade intelectual, acreditando que as danças e os esportes deles eram uma distração a partir de suas experiências e estudos.

Em sua biografia, Nash observa que foi o livro Homens da Matemática, de Eric Temple Bell[3][4] - em particular o ensaio sobre Pierre de Fermat - que o fez se interessar pela área. John assistiu às aulas do Colégio de Bluefield, enquanto na escola secundária.

Nash sempre foi um ávido leitor da Time (revista), da Enciclopédia Compton e da Revista Life. Mais tarde conseguiu um emprego na Bluefield Daily Telegraph, um jornal diário da região.

Nash aprendeu com livros fornecidos por seus pais e avôs. Os pais de Nash buscaram oportunidades para fornecer uma boa educação ao filho, arranjando um curso de matemática avançada na Universidade de Bluefield durante seus últimos anos no Ensino Médio.[2]

Martha, sua irmã mais nova, parece ter sido uma criança comum, enquanto seu irmão parecia ser bem diferente das outras crianças. Ela escreveu mais tarde: "Johnny sempre foi diferente. Meus pais sabiam disso. E eles também sabiam que ele era brilhante. John sempre quis fazer as coisas a sua maneira. Minha mãe insistia para eu fazer as coisas por ele, para eu incluí-lo nas minhas amizades... mas eu não estava muito interessada em mostrar o meu estranho irmão".[1]

Mais tarde, frequentou a Universidade Carnegie Mellon, em Pittsburgh, Pensilvânia, onde estudou primeiramente engenharia química, antes de mudar para química. Mais tarde, com o conselho do professor John Lighton Synge, Nash trocou para o curso de matemática. Recebeu tanto seu bacharelado quanto seu mestrado em 1948, no Instituto Carnegie.[2]

Após sua formatura, Nash teve um emprego em White Oak (Maryland), onde trabalhou para um projeto da Marinha dos Estados Unidos, dirigido por Clifford Truesdell.

Richard Duffin, que era professor em Carnegie, escreveu uma carta de recomendação para Nash ingressar em Princeton. Nela, dizia: "Ele é um gênio da matemática."[5]

Vida pós-graduação

Embora tivesse sido aceito pela Universidade de Harvard, que tinha sido sua primeira escolha devido ao prestígio da instituição e pelos cursos superiores de matemática, além da Universidade de Chicagoe da Universidade de Michigan, Nash recebeu muitas ofertas insistentes do então presidente do departamento de matemática da Universidade de Princeton, Solomon Lefschetz, cuja oferta de uma bolsa John S. Kennedy foi o bastante para convencê-lo de que Princeton o valorizava mais.[6] Além disso, também considerou a proximidade de Princeton com sua família em Bluefield.[2]

Assim, em White Oak, partiu para a Universidade de Princeton, onde trabalhou e desenvolveu o Equilíbrio de Nash.[1] Obteve um doutorado em 1950, com uma tese sobre os jogos não-cooperativos.[7] A tese, escrita sob a supervisão de Albert William Tucker, continha definições e propriedades daquilo que, mais tarde, seria chamado de Equilíbrio de Nash. Esses estudos levaram a três artigos: Equilibrium Points in N-person Games[8]; The Bargaining Problem[9] e Non-cooperative Games.[10]

Seu mais famoso trabalho tem relação com a matemática pura: o teorema da imersão de Nash.

Em 1951, Nash foi para o Instituto Tecnológico de Massachusetts como instrutor de matemática. Após cerca de um ano, ele iniciou um relacionamento com Eleanor Stier, uma enfermeira que ele conheceu quando era um paciente. Eles tiveram um filho, John David Stier, mas Nash abandonou Eleanor Stier após saber da gravidez.[11]

Também no MIT, Nash conheceu Alicia López-Lardé de Harrison (nascida em 1 de janeiro de 1933), uma acadêmica de física de El Salvador[12], com quem se casou em fevereiro de 1957.[13] Alicia enviou Nash a um hospital psiquiátrico em 1959, devido a sua esquizofrenia; seu filho, John Charles Martin Nash, nasceu pouco tempo depois deste acontecimento.

Nash e Alicia se divorciaram em 1963, mas voltaram a viver juntos em 1970, numa relação não-romântica, em que ela abrigou-o como um companheiro. O casal renovou seu relacionamento após Nash ter sido galardoado com o Prêmio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel de 1994. Casaram-se novamente em 1 de junho de 2001.

Esquizofrenia

Nash começou a mostrar sinais de esquizofrenia em 1958. Nash desenvolveu um comportamento errático de acordo com Alicia. Uma vez, entrando na sala comunal do MIT, chegou na frente de seus colegas e jogando o jornal na mesa, disse que num dos artigos, seres intergalácticos tinham deixado uma mensagem em código que apenas ele era capaz de ler. Devido a sua excentricidade habitual, muitos tomaram esses primeiros sinais como brincadeiras. Mas seu quadro se agravou: chegou a escrever cartas para embaixadas em Washington, se autointitulou "imperador da Antártica" e começou a criar diversas teorias conspiratórias. Quando ameaçou retirar todo seu dinheiro do banco e se mudar para a Europa, Alicia buscou auxílio médico. E com o consenso do MIT, foi internado no Hospital McLean (que abrigava pacientes como professores de Harvard e pessoas famosas) em 1959, quando foi diagnosticado com esquizofrenia paranoide e depressão com baixa auto-estima. Depois de uma problemática estadia em Paris e Genebra, Nash retornou a Princeton em 1960. Permaneceu dentro e fora de hospitais psiquiátricos até 1970, onde passou por tratamentos que utilizavam eletroconvulsoterapia e medicamentos antipsicóticos. Depois de 1970, à sua escolha, ele nunca mais tomou medicação antipsicótica novamente. Segundo Nasar, sua biógrafa, Nash começou a desenvolver uma recuperação gradativa com o passar do tempo.

Reconhecimento

Em 1978, foi atribuído a Nash o Prêmio Teoria John von Neumann, por suas descobertas quanto aos equilíbrios não-cooperativos, agora chamado de Equilíbrio de Nash. Ganhou também o Prêmio Leroy P. Steele da American Mathematical Society em 1999.[14]

Em 1994, como resultado de seu trabalho com a teoria dos jogos, que desenvolveu quando estudante de Princeton, recebeu o Prêmio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel (junto com Reinhard Selten e John Harsanyi)[15] por seu análise pioneira em equilíbrio na teoria de jogos não cooperativos.[16] Fez dedicatórias do prêmio a Alicia.

Entre 29 de junho e 4 de agosto de 2010, John Nash esteve na Faculdade de Economia e Administração da Universidade de São Paulo, durante o II encontro da Sociedade de Teoria dos Jogos em Comemoração aos 60 anos da Teoria do Equilíbrio de Nash.[17] E, entre os dias 25 e 31 de julho de 2014, a FEA recebeu o workshop “Game Theory and Economic Applications of the Game Theory Society” em que Nash participou, junto a outros três ganhadores do Nobel de Economia: Robert Aumann, Eric Maskin e Alvin Roth.[18]

Morte

Nash faleceu no dia 23 de maio de 2015, aos 86 anos de idade, em um acidente de trânsito em Nova Jersey, Turnpike. Sua esposa Alicia Nash de 82 anos também morreu no acidente.[19][20]

O motorista do táxi que os levava do Aeroporto Newark perdeu o controle do carro. Como nenhum dos passageiros estavam usando cinto de segurança, foram ejetados e mortos.[21] Nash deixou os dois filhos.[16]

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Principais contribuições

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Nash em novembro de 2006 em uma conferência de teoria dos jogos em Colônia, Alemanha

Teoria dos jogos

Nash obteve um Ph.D. em 1950 com uma dissertação de 28 páginas sobre jogos não cooperativos.[22][23]

A tese, escrita sob a supervisão do orientador de doutorado Albert W. Tucker, continha a definição e as propriedades do equilíbrio de Nash, um conceito crucial em jogos não cooperativos. Nash ganhou o Prêmio Nobel de Ciências Econômicas em 1994.

As publicações de autoria de Nash relacionadas ao conceito estão nos seguintes documentos:

  • 1950: Equilibrium Points in N-person Games[8].
  • 1950: The Bargaining Problem.[9]
  • 1951: Non-cooperative Games.[10]
  • 1953: Two-person Cooperative Games.[24]

Além disso, Nash criou dois jogos populares: Hex (criado independentemente em 1942)[25], e So Long Sucker em 1950 com Melvin Hausner e Lloyd Shapley[26].

Geometria algébrica real

Nash também fez um trabalho inovador na área da geometria algébrica real com Real algebraic manifolds.[27][28]

Seu trabalho em matemática inclui o teorema de incorporação de Nash, que mostra que toda variedade Riemanniana abstrata pode ser realizada isometricamente como uma subvariedade do espaço euclidiano. Nash também fez contribuições significativas à teoria das equações diferenciais parciais parabólicas não lineares e à teoria da singularidade. Mikhail Leonidovich Gromov escreve sobre o trabalho de Nash:

Nash estava resolvendo problemas matemáticos clássicos, problemas difíceis, algo que ninguém mais era capaz de fazer, nem mesmo imaginar como fazer. ... Mas o que Nash descobriu no curso de suas construções de embeddings isométricos está longe de ser 'clássico' - é algo que provoca uma alteração dramática em nossa compreensão da lógica básica da análise e da geometria diferencial. A julgar pela perspectiva clássica, o que Nash conseguiu em seus artigos é tão impossível quanto a história de sua vida ... [H] é o trabalho em imersões isométricas ... abriu um novo mundo da matemática que se estende diante de nossos olhos em ainda direções desconhecidas e ainda espera para ser explorado.[29]

John Milnor fornece uma lista de 21 publicações.[30]

Na biografia de Nash, A Beautiful Mind, a autora Sylvia Nasar explica que Nash estava trabalhando na prova do décimo nono problema de Hilbert, um teorema envolvendo equações diferenciais parciais elípticas quando, em 1956, ele sofreu uma grande decepção. Ele soube que um matemático italiano, Ennio de Giorgi, publicou uma prova poucos meses antes de Nash conseguir a sua. Cada um seguiu caminhos diferentes para chegar às suas soluções. Os dois matemáticos se conheceram no Courant Institute of Mathematical Sciences da New York University durante o verão de 1956. Especula-se que se apenas um tivesse resolvido o problema, ele teria recebido uma Medalha Fields pela prova.[31]

O décimo nono problema de Hilbert[32] questiona se as soluções de problemas regulares no cálculo de variações são sempre analíticas.[33]

Criptografia

Em 2011, a Agência de Segurança Nacional tornou públicas as cartas escritas por Nash na década de 1950, nas quais ele propunha uma nova máquina de criptografia-decodificação.[34] As cartas mostram que Nash antecipou muitos conceitos da criptografia moderna, que são baseados na capacidade computacional.[35]

Dinheiro ideal

Ver artigo principal: Dinheiro ideal

A ideia do dinheiro ideal é possuir uma moeda baseada em um índice composto por preços de commodities, com referência itens amplamente utilizados pela indústria como referência para o valor do dinheiro.[36][37]

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Publicações

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  • 1945: Transactions of the American Institute of Electrical Engineers.[38]
  • 1950: The bargaining problem.[9]
  • 1950: Equilibrium Points in N-person Games[8].
  • 1950: A simple three-person poker game.[39]
  • 1951: Non-cooperative Games.[10]
  • 1952: Real Algebric Mainfolds.[28]
  • 1953: Two-person Cooperative Games.[24]
  • 1953: A comparison of treatments of a duopoly situation.[40]
  • 1954: C1 isometric imbeddings.[41]
  • 1955: A path space and the Stiefel–Whitney classes.[42]
  • 1956: The imbedding problem for Riemannian manifolds.[43]
  • 1958: Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations.[44]
  • 1962: Le problème de Cauchy pour les équations différentielles d'un fluide général.[45]
  • 1966: Analyticity of the solutions of implicit function problems with analytic data.[46]
  • 1995: Arc structure of singularities.[47]
  • 2002: Ideal money.[37]
  • 2008: The agencies method for modeling coalitions and cooperation in games.[48]
  • 2012: The agencies method for coalition formation in experimental games.[49]
  • 2016: Open problems in mathematics.[50]

Quatro artigos sobre teoria de jogos (publicados entre 1950 e 1953) e três sobre matemática pura (publicados entre 1952 e 1958) estão reunidos em:

  • 2002: The essential John Nash.[51]

Documentários e entrevistas

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Referências

  1. [1]
    Nasar, Sylvia (2011). A beautiful mind: the life of mathematical genius and Nobel Laureate John Nash First Simon & Schuster trade paperback edition ed. New York: Simon & Schuster Paperbacks
  2. [2]
    Les prix Nobel. 1994: Nobel prizes, presentations, biographies, and lectures. Stockholm : Stockholm: Almqvist & Wiksell International ; The Nobel Foundation [Nobelstiftelsen]. 1995. ISBN 978-91-85848-24-9
  3. [3]
    «O mistério dos gênios da matemática». epoca.globo.com. Consultado em 26 de maio de 2025
  4. [4]
    «John F. Nash Jr., Math Genius Defined by a 'Beautiful Mind,' Dies at 86 | Applied Mathematics | University of Colorado Boulder». www.colorado.edu (em inglês). Consultado em 27 de maio de 2025
  5. [5]
    «From the collections of the Seeley G. Mudd Manuscript Library, Princeton, NJ» (PDF). webspace.princeton.edu. Consultado em 25 de junho de 2025. Cópia arquivada (PDF) em 7 de junho de 2017
  6. [6]
    Nasar, Sylvia. Uma Mente Brilhante, p. 46-47. Simon & Schuster, 1998
  7. [7]
    «Seeley G. Mudd Manuscript Library : FAQ John Nash». Consultado em 6 de julho de 2008. Arquivado do original em 16 de julho de 2007
  8. [8]
    Nash, John F. (janeiro de 1950). «Equilibrium points in n -person games». Proceedings of the National Academy of Sciences (em inglês) (1): 48–49. ISSN 0027-8424. PMC 1063129Acessível livremente. PMID 16588946. doi:10.1073/pnas.36.1.48. Consultado em 25 de junho de 2025
  9. [9]
    Nash, John F. (abril de 1950). «The Bargaining Problem». Econometrica (2). 155 páginas. doi:10.2307/1907266. Consultado em 25 de junho de 2025
  10. [10]
    Nash, John (setembro de 1951). «Non-Cooperative Games». The Annals of Mathematics (2). 286 páginas. doi:10.2307/1969529. Consultado em 25 de junho de 2025
  11. [11]
    «LitCharts». LitCharts (em inglês). Consultado em 25 de junho de 2025
  12. [12]
    «John F. Nash Jr. – Biographical». NobelPrize.org (em inglês). Consultado em 25 de junho de 2025
  13. [13]
    NJ.com, Susan K. Livio | NJ Advance Media for (11 de junho de 2017). «Two years after parents' death, son of 'A Beautiful Mind' John Nash' has one regret». nj (em inglês). Consultado em 25 de junho de 2025
  14. [14]
    «John Nash | Biography, Game Theory, Nobel Prize, & Facts | Britannica». www.britannica.com (em inglês). 9 de junho de 2025. Consultado em 18 de junho de 2025
  15. [15]
    «Prêmio Nobel de Economia – Conselho Federal de Economia». Consultado em 18 de junho de 2025
  16. [16]
    «John F. Nash Jr. – Facts». NobelPrize.org (em inglês). Consultado em 18 de junho de 2025
  17. [17]
    «2nd Brazilian Workshop of the Game Theory Society, in honor of JOHN NASH (Dia 31/07/2010) | FEA - USP». www.fea.usp.br. Consultado em 27 de maio de 2025
  18. [18]
    «USP recebe quatro agraciados com o Prêmio Nobel em Economia». JORNAL DA USP. 22 de julho de 2014. Consultado em 27 de maio de 2025
  19. [19]
    «Famed 'A Beautiful Mind' mathematician John Nash, wife killed in taxi crash, police say»
  20. [20]
    G1, Do; Paulo, em São (24 de maio de 2015). «John Nash, matemático que inspirou filme, morre em acidente nos EUA». Mundo. Consultado em 28 de setembro de 2021
  21. [21]
    «Cabbie In Crash That Killed John Nash Began Driving Taxi Two Weeks Ago». Woodbridge, NJ Patch (em inglês). 26 de maio de 2015. Consultado em 18 de junho de 2025
  22. [22]
    Nash, John F. (maio de 1950). «Non-Cooperative Games» (PDF). PhD thesis. Princeton University. Consultado em 24 de maio de 2015. Cópia arquivada (PDF) em 20 de abril de 2015
  23. [23]
    Osborne, Martin J. (2004). An Introduction to Game Theory. Oxford, England: Oxford University Press. p. 23. ISBN 0-19-512895-8
  24. [24]
    Nash, John (janeiro de 1953). «Two-Person Cooperative Games». Econometrica (1). 128 páginas. doi:10.2307/1906951. Consultado em 25 de junho de 2025
  25. [25]
    «O JOGO "HEX" | MATEMATECA». matemateca.ime.usp.br. Consultado em 18 de junho de 2025
  26. [26]
    Jerade, Marie Rose (7 de fevereiro de 2024). «So Long Sucker: Endgame Analysis» (em inglês). doi:10.20381/ruor-30134. Consultado em 18 de junho de 2025
  27. [27]
    «MathSciNet». mathscinet.ams.org. Consultado em 25 de junho de 2025
  28. [28]
    Nash, John (novembro de 1952). «Real Algebraic Manifolds». The Annals of Mathematics (3). 405 páginas. doi:10.2307/1969649. Consultado em 25 de junho de 2025
  29. [29]
    Nash, John Forbes Jr.; Rassias, M. Th. (2016). Open Problems in Mathematics. New York City: Springer Publishing. pp. xi–xiii
  30. [30]
    Milnor, John (1998). «John Nash and "A Beautiful Mind"» (PDF). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. Notices of the AMS. 25 (10): 1329–1332
  31. [31]
    «The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1994». NobelPrize.org (em inglês). Consultado em 28 de setembro de 2021
  32. [32]
    Nash, John (1957). «Parabolic Equations». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (8): 754–758. ISSN 0027-8424. Consultado em 18 de junho de 2025
  33. [33]
    Hilbert, David; Hilbert, David (2015). Analysis, Grundlagen der Mathematik, Physik, Verschiedenes, Lebensgeschichte. Col: Gesammelte Abhandlungen / David Hilbert 2. Auflage, Reprint of the 1970, Reprint 2015 ed. Berlin Heidelberg: Springer
  34. [34]
    «2012 Press Release – National Cryptologic Museum Opens New Exhibit on Dr. John Nash». National Security Agency. Consultado em 25 de fevereiro de 2012
  35. [35]
    «John Nash's Letter to the NSA; Turing's Invisible Hand». 17 de fevereiro de 2012. Consultado em 25 de fevereiro de 2012
  36. [36]
    Holt, Charles A. (2002). «John F. Nash, Jr.: Introduction and Postscript». Southern Economic Journal (1): 2–3. ISSN 0038-4038. Consultado em 25 de junho de 2025
  37. [37]
    Nash, John F. (2002). «Ideal Money». Southern Economic Journal (1): 4–11. ISSN 0038-4038. doi:10.2307/1061553. Consultado em 25 de junho de 2025
  38. [38]
    Nash, John F. (outubro de 1945). «Sag and tension calculations for cable and wire spans using catenary formulas». Transactions of the American Institute of Electrical Engineers (10): 685–692. ISSN 0096-3860. doi:10.1109/T-AIEE.1945.5059021. Consultado em 25 de junho de 2025
  39. [39]
    Nash, J. F.; Shapley, L. S. (31 de dezembro de 1951). Kuhn, Harold William; Tucker, Albert William, eds. «10. A SIMPLE THREE-PERSON POKER GAME». Princeton University Press: 105–116. ISBN 978-1-4008-8172-7. doi:10.1515/9781400881727-011. Consultado em 25 de junho de 2025
  40. [40]
    Mayberry, J. P.; Nash, J. F.; Shubik, M. (1953). «A Comparison of Treatments of a Duopoly Situation». Econometrica (1): 141–154. ISSN 0012-9682. doi:10.2307/1906952. Consultado em 25 de junho de 2025
  41. [41]
    Nash, John (1954). «C1 Isometric Imbeddings». Annals of Mathematics (3): 383–396. ISSN 0003-486X. doi:10.2307/1969840. Consultado em 25 de junho de 2025
  42. [42]
    Nash, John (15 de maio de 1955). «A path space and the stiefel-whitney classes». Proceedings of the National Academy of Sciences (5): 320–321. PMC 528087Acessível livremente. PMID 16589673. doi:10.1073/pnas.41.5.320. Consultado em 25 de junho de 2025
  43. [43]
    Nash, John (1956). «The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds». Annals of Mathematics (1): 20–63. ISSN 0003-486X. doi:10.2307/1969989. Consultado em 25 de junho de 2025
  44. [44]
    Nash, J. (1958). «Continuity of Solutions of Parabolic and Elliptic Equations». American Journal of Mathematics (4): 931–954. ISSN 0002-9327. doi:10.2307/2372841. Consultado em 25 de junho de 2025
  45. [45]
    Nash, J. (1966). «Analyticity of the Solutions of Implicit Function Problems With Analytic Data». Annals of Mathematics (3): 345–355. ISSN 0003-486X. doi:10.2307/1970448. Consultado em 25 de junho de 2025
  46. [46]
    Nash, J. (1966). «Analyticity of the Solutions of Implicit Function Problems With Analytic Data». Annals of Mathematics (3): 345–355. ISSN 0003-486X. doi:10.2307/1970448. Consultado em 25 de junho de 2025
  47. [47]
    Nash, John F. (1 de janeiro de 1995). «Arc structure of singularities». Duke Mathematical Journal (1). ISSN 0012-7094. doi:10.1215/s0012-7094-95-08103-4. Consultado em 25 de junho de 2025
  48. [48]
    Nash, John F. (dezembro de 2008). «The agencies method for modeling coalitions and cooperation in games». International Game Theory Review (04): 539–564. ISSN 0219-1989. doi:10.1142/S0219198908002084. Consultado em 25 de junho de 2025
  49. [49]
    Nash, John F.; Nagel, Rosemarie; Ockenfels, Axel; Selten, Reinhard (11 de dezembro de 2012). «The agencies method for coalition formation in experimental games». Proceedings of the National Academy of Sciences (50): 20358–20363. PMC 3528550Acessível livremente. PMID 23175792. doi:10.1073/pnas.1216361109. Consultado em 25 de junho de 2025
  50. [50]
    Nash,, John Forbes; Rassias, Michael Th., eds. (2016). «Open Problems in Mathematics». SpringerLink (em inglês). doi:10.1007/978-3-319-32162-2. Consultado em 25 de junho de 2025
  51. [51]
    Nash, John (29 de junho de 2016). «The Essential John Nash». Princeton University Press (em inglês). ISBN 978-1-4008-8408-7. doi:10.1515/9781400884087. Consultado em 25 de junho de 2025


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