Matriz nula

Em matemática, em particular na álgebra linear, uma matriz nula ou matriz zero é uma matriz com todas as suas entradas nulas.^[1] Estes são alguns exemplos de matrizes nulas:

$${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

Propriedades

O conjunto das matrizes m × n com entradas em um anel K forma um anel ${\displaystyle K_{m,n}.}$ A matriz nula ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$ em ${\displaystyle K_{m,n}}$ é a matriz com todas as entradas iguais a ${\displaystyle 0_{K},}$ em que ${\displaystyle 0_{K}}$ é o elemento neutro da adição em K.

$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$$

A matriz nula é o elemento neutro da adição em ${\displaystyle K_{m,n},}$ ^[2] ou seja, para toda ${\displaystyle A\in K_{m,n},}$ vale

$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$$

Existe exatamente uma matriz nula de cada tamanho m × n dado tendo entradas num anel dado, assim, quando o contexto for claro, é comum se referir à matriz nula. Em geral, o elemento zero de um anel é único e normalmente indicado por 0 sem qualquer índice subscrito para indicar o anel subjacente. Deste modo, os exemplos acima representam matrizes nulas sobre qualquer anel.

A matriz nula representa a transformação linear que envia todos os vetores no vetor nulo.^[3]

A matriz nula é idempotente, o que significa que, quando é multiplicada por si mesma, o resultado é ela própria.

A matriz nula é a única matriz cujo posto é 0.

Ocorrências

O problema matricial mortal é o problema de determinar, dado um conjunto finito de matrizes n × n com entradas inteiras, se elas podem ser multiplicadas em alguma ordem, possivelmente com repetição, para produzir a matriz nula. Sabe-se que isso é indecidível para um conjunto de seis ou mais matrizes 3 × 3 ou um conjunto de duas matrizes 15 × 15.^[4]

Na regressão por mínimos quadrados ordinária, se houver um ajuste perfeito aos dados, a matriz anuladora é a matriz nula.

Ver também

• Matriz identidade, o elemento neutro da multiplicação matricial

Referências

1. Lang, Serge (1987), Linear Algebra, ISBN 9780387964126, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 25
2. Warner, Seth (1990), Modern Algebra, ISBN 9780486663418, Courier Dover Publications, p. 291
3. Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Linear Algebra: An Introduction, ISBN 9780120887842, Academic Press, p. 377
4. Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero; Nicolas, Francois. «Tighter Undecidability Bounds for Matrix Mortality, Zero-in-the-Corner Problems, and More» (em inglês). arXiv:1404.0644