Monomorfismo (teoria das categorias)

Um monomorfismo (ou mono), no contexto de teoria das categorias, é uma generalização do conceito de função injetiva. Uma seta ${\displaystyle h:a\rightarrow b}$ numa categoria ${\displaystyle C}$ é um monomorfismo se e somente se ${\displaystyle h\circ g=h\circ f}$ implica ${\displaystyle g=f}$ sempre que ${\displaystyle g,f:c\to a}$ são setas e ${\displaystyle c}$ é objeto de ${\displaystyle C}$. Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada à esquerda de uma composição.

Exemplo de um monomorfismo

A noção dual a monomorfismo é epimorfismo.^[1]

Exemplos

• Na categoria dos conjuntos, dos espaços topológicos (e funções contínuas), dos grupos (e homomorfismos de grupos), monomorfismos são exatamente os mapeamentos injetivos.^[1][2]
• Na categoria de grupos abelianos divisíveis (isto é, um grupo abeliano G satisfazendo G = n ⋅ G para cada n inteiro positivo), a projeção ℚ → ℚ/ℤ é um monomorfismo que não é injetivo.^[3]

Seção

Se g ∘ f = 1_c para algumas setas f : c → d e g : d → c, f é chamada inversa à direita ou seção e g é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.^[1]

Eis alguns exemplos:

• Na categoria dos conjuntos, se A ≠ ∅, uma função f : A → B é uma seção precisamente quando é injetiva.^[4]
• Na categoria dos módulos sobre um anel R, um homomorfismo φ : M → N é uma seção precisamente quando há sequência exata$${\displaystyle 0\rightarrow M{\xrightarrow {\phi }}N{\xrightarrow {a\mapsto a+\operatorname {im} \phi }}\operatorname {conuc} \phi \rightarrow 0}$$que cinde, isto é, quando há diagrama comutativo$${\displaystyle {\begin{array}{c l c l c l c l c}0&\rightarrow &M&{\xrightarrow {\phi }}&N&\rightarrow &\operatorname {conuc} \phi &\rightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\rightarrow &M'_{1}&\rightarrow &M'_{1}\oplus M'_{2}&\rightarrow &M'_{2}&\rightarrow &0\end{array}}}$$no qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por a ↦ (a, 0) e (a, b) ↦ b. (O módulo N "cinde-se" em M e o conúcleo de φ.) Por isso, seções são também chamadas de monomorfismos que cindem.^[5]

Subobjetos

Ver artigo principal: Subobjeto

Dados monomorfismos ${\displaystyle u:s\to a,\,v:t\to a}$ de mesmo contradomínio, escreve-se ${\displaystyle u\leq v}$ quando ${\displaystyle u=v\circ u'}$ para alguma ${\displaystyle u':s\to t}$; escreve-se ${\displaystyle u\equiv v}$ quando ${\displaystyle u\leq v}$ e ${\displaystyle v\leq u}$. Então, ${\displaystyle \equiv }$ é relação de equivalência no conjunto dos monomorfismos de contradomínio ${\displaystyle a}$, e cada classe de equivalência associada é chamada um subobjeto de ${\displaystyle a}$.

Na categoria dos conjuntos e na dos grupos, por exemplo, subobojetos correspondem biunivocamente a subconjuntos e subgrupos, respectivamente.

Dada uma família ${\displaystyle \{u_{i}:s_{i}\to a\}_{i\in I}}$ de subobjetos de ${\displaystyle a}$ (aqui, usa-se a mesma notação para um subobjeto e um monomorfismo representante), o ínfimo de ${\displaystyle A}$ (se existe) é exatamente o produto fibrado (ou pullback) dos ${\displaystyle \{u_{i}:s_{i}\to a\}_{i\in I}}$.^[6]

Referências

1. (Mac Lane, §I.5)
2. «Top – nLab». Consultado em 20 de fevereiro de 2020
3. (Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.33)
4. (Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.20)
5. (Aluffi, §III.7.2)
6. (Mac Lane, §V.7)