Número hipercomplexo

Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, bicomplexos, octoniões, split-octoniões, biquaterniões e sedeniões. Mais precisamente, um número hipercomplexo é um elemento de uma álgebra unital de dimensão finita sobre os números reais.^[1]

Conjuntos de números

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots }$ Naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Irracionais ${\displaystyle \mathbb {I} }$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em ${\displaystyle \mathbb {R} }$) Reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Imaginários ${\displaystyle \mathbb {i} }$ Complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Números hiper-reais *${\displaystyle \mathbb {R} }$ Números hipercomplexos

Quaterniões ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Octoniões ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Sedeniões ${\displaystyle \mathbb {S} }$ Complexos hiperbólicos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Conjugação

Por definição, um número hipercomplexo (de dimensão ${\displaystyle n+1}$) é uma combinação linear de ${\displaystyle {1,i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}}$, ou seja, é dado por

${\displaystyle z=a_{0}+a_{1}\cdot i_{1}+a_{2}\cdot i_{2}+\cdots +a_{n}\cdot i_{n}}$

onde ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ são números reais arbitrários.

O conjugado de ${\displaystyle z}$ é o número hipercomplexo

${\displaystyle {\bar {z}}=a_{0}-a_{1}\cdot i_{1}-a_{2}\cdot i_{2}-\cdots -a_{n}\cdot i_{n}}$

estendendo assim a definição para números complexos.^[2]

Ver também

• Álgebra de Clifford

Referências

1. Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S. (1989), Hypercomplex numbers, ISBN 978-0-387-96980-0, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR996029
2. Encyclopedia of Mathematics. «Hypercomplex number». Springer

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