Segmento circular

Em geometria, um segmento circular (também segmento de círculo) é uma área de um círculo informalmente definido como uma área que é "cortada" do resto do círculo por uma reta secante ou uma corda. O segmento circular constitui a parte entre a secante e um arco, excluindo o centro do círculo.

Um segmento circular (mostrado aqui em amarelo) é delimitada por uma secante/corda (a linha tracejada) e um arco de círculo (mostrado acima da área amarela).

Fórmula

Seja R o raio do círculo, c o comprimento da corda, s o comprimento do arco, h a altura do segmento e d a altura da porção triangular. A área do segmento circular é igual à área do setor circular menos a área da porção triangular.

O raio é ${\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}$

O comprimento do arco é ${\displaystyle s=R\theta {\frac {}{}}}$, onde ${\displaystyle \theta {\frac {}{}}}$ está em radianos.

A área é ${\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)}$

O comprimento da corda é ${\displaystyle c=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}}$

onde b é a distância do centro de gravidade ao centro do círculo e A é a área do segmento.

Derivação da fórmula da área

A área do setor circular é ${\displaystyle \pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}$

Se fizermos a bissetriz do ângulo ${\displaystyle \theta }$, e por conseguinte da porção triangular, obteremos dois triângulos com a área ${\displaystyle {\frac {1}{2}}R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}}$ ou ${\displaystyle 2\cdot {\frac {1}{2}}R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle =R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}$

Dado que a área do segmento é a área do setor diminuída da área da porção triangular, temos

${\displaystyle R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$

De acordo com a trigonometria, ${\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x}$, logo

${\displaystyle R\sin {\frac {\theta }{2}}R\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\sin \theta }$

Portanto, a área é:

${\displaystyle R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin \theta \right)}$

${\displaystyle ={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

Ver também

• Arco
• Setor circular
• Seção cônica

Ligações externas

• Áreas de regiões circulares em Matemática Essencial. Acessado em 22 de maio de 2008.
• Cálculo de segmento circular em WebCalc. Acessado em 22 de maio de 2008.

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